Особенные виды письменных знаков. Древние системы счисления

ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ . Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово «три» использовалось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее - понятие троичности - требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», равно как «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета «один», «два», «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый» ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» - не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения или вычислений использовались основания 12 и 60.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

Древний Египет.

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. (См . сводную таблицу обозначений чисел .) Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев - волнистой линией и десять волнистых линий - фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как

Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале - папирусе. Два таких документа - папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) - служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как

Работа по учебнику.

Задание 1. Один предмет можно изобразить одним знаком: палочкой, звёздочкой, солнышком, цифрой 1.

Придумайте и нарисуйте свой знак для одного предмета.

Задание 2. Как можно изобразить группу предметов? (группой знаков.)

– Сколько предметов изображают рисунки в учебнике? (6 палочек, 2 треугольника, 7 пальцев, 8 колец.)

– Изобразите это количество предметов знаками, которые вы придумаете сами.

– Запишите цифру, которая обозначает количество предметов на каждом рисунке.

– Чтобы не рисовать много одинаковых знаков, люди придумывали знаки для групп предметов и давали им названия. Как можно изобразить десяток? (Мы записываем десяток двумя цифрами: 10.)

Задание 3. Вспомните, как записать цифрами 2 десятка, 3 десятка. (20, 30.)

– Прочитайте названия чисел на доске: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.

Задание 4. Изобразите с помощью римских цифр числа 20 и 30. (XX, ХХХ.)

– Придумайте и нарисуйте свое обозначение для десятка. Изобразите числа 40, 60 с помощью придуманного вами знака.

– Проверьте работу друг у друга. (Работа в парах.)

Задание 5. Выполните вычисления и дополните до ближайшего десятка.

– Как называется число, в котором 7 десятков? (70.)

– Как называется число, в котором 10 десятков? (100, или сотня.)

– Посмотрите в учебнике, как можно изобразить число 100 с помощью рисунков.

– Мы записываем число 100 тремя цифрами: 100. Запишите число 100 в тетрадь.

Задание 6. Запишите цифрами: две сотни, четыре сотни, восемь сотен. (200, 400, 800.)

– Придумайте и нарисуйте свой знак для обозначения сотни. Изобразите с помощью этого знака три сотни, пять сотен.

– Римская цифра С – это первая буква латинского слова «cent», что значит «сто». Произносится «цент».

Греческая буква Н – первая буква греческого слова «гекта», что также значит «сто».

Задание 7. Найдите латинскую или греческую часть слова в словах «сантиметр», «гектар», «гектолитр». Что означают эти слова?

– Тысяча – это десять сотен, или сто десятков. В древности тысячу обозначали так: древние римляне – М (эм), древние греки – Х (икс).

– Мы записываем тысячу четырьмя цифрами: 1000.

III. Самостоятельная работа по карточкам.

– Соотнесите римские и арабские цифры.

– Выполните необходимый рисунок на карточке.

IV. Итог урока.

– Как можно изобразить группу предметов? Сколько всего арабских цифр?

Урок 4
СЧЁт ДЕСЯТКАМИ

Цели деятельности учителя: создать условия для формирования представления о разрядном составе числа; способствовать развитию умения определять количество десятков в круглых числах до 100.

Планируемые результаты образования.

Предметные: умеют выполнять сложение и вычитание чисел в пределах 100, правильно употреблять в речи названия компонентов сложения (слагаемые, сумма) и вычитания (уменьшаемое, вычитаемое, разность), читать, записывать и сравнивать двузначные числа, составлять выражение по условию задачи.

Личностные: проявляют положительное отношение и интерес к урокам математики; воспринимают математику как часть общечеловеческой культуры.

Метапредметные (критерии сформированности/оценки компонентов универсальных учебных действий – УУД): регулятивные: удерживают цель учебной деятельности на уроке (с опорой на ориентиры, данные учителем); планируют собственную вычислительную деятельность; познавательные: выполняют вычисления по аналогии; сравнивают цифры, которые использовали разные народы; сравнивают разные способы вычислений, решения задач; коммуникативные: отвечают на вопросы, задают вопросы, уточняют непонятное.

Древние системы счисления отличаются большим разнообразием, поскольку привычный нам способ записи чисел с помощью десяти знаков появился далеко не сразу.
Прежде всего надо отметить, что существовали две основные системы счисления - пятеричная и привычная нам десятеричная. Кроме них, существовала так же 12-ричная, которая в Англии вплоть до 19 века вообще главенствовала. Из Древнего Вавилона пришла к нам и 60-ричная система счисления, которая применяется до сих пор при измерении угловых величин - круг, состоящий из 360 градусов делится без остатка на многие удобные цифры. Стоит отметить, что в древние системы счисления ряда народов прослеживаются остатки более древней пятеричной системы - у древних римлян и майя например.

Разнообразие в на самом деле небольшое - в основном десятичная или пятерично-десятичная. Но, вот когда дело доходило до записи на бумаге или камне, то тут, как говорится, каждый был сам себе голова. Академий наук тогда не было, министерств тоже, о стандартах школьного образования тем более никто не слыхивал, китайцы знали о достижениях греков мягко говоря маловато, и наоборот. Поэтому, каждый изобретал свой способ записи.

Пожалуй самым древним обозначением числа можно считать вертикальную палочку. Почти у всех древних народов она естественным образом изображала единицу. Дальше шли соответственно две, три, реже четыре палочки. Дальше в основном вводили новые знаки по достижении какого-то числа, при котором записывать большое числа палочек было просто неудобно.

Инки в Южной Америке придумали вообще уникальную сисему счисления - типу - числа обозначались узелками на шнурках! Различалась форма узелков, цвет шнурков, их расположение на шнурке. Система была довольно сложной, требовала специального обучения, но она вполне удовлетворяла инков, позволяя вести даже двойной счёт в бухгалтерии!

В Древнем Египте бытовала десятичная система счисления и существовало несколько систем обозначения чисел. Иероглифическая форма записи, когда для всех степеней десяти, включая единицу, был свой знак. Подобно другим системама счисления, любое число можно было обозначить сложением числовых значений этих знаков. Это "парадная", довольно громоздкая форма записи, поэтому существовала жреческая (иератическая) система счисления, в которой для единиц, десятков и т.д. были отдельные знаки. Складывать в такой записи тоже приходилось, но надпись была заметно короче. Позднее возникло ещё более простое демотическое письмо. Пока египетские системы счисления в моём не сделаны, по причине затруднений с кодировками и шрифтами для древнеегипетских надписей.

Настоящей переворотом стало открытие полноценного понятия нуля индийскими математиками. Благодаря этому появилась привычная нам десятичная ПОЗИЦИОННАЯ система счисления, рассказывать о которой нет особого смысла. Во многих странах существуют свои обозначения для чисел, но на поверку - все они отличаются друг от друга только внешним видом знаков(цифр) и не более того.

Я постарался не только собрать все эти системы счисления Древнего Мира и разных народов воедино, но и сделать удобным для использования. В итоге получилась программа "Титло" - переводчик чисел .

Ещё по этой теме:

Можно ли представить мир без чисел? Вспомните, что мы с вами делаем изо дня в день: без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие достижения! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

Число одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.

Люди так часто пользуются числами и счетом, что трудно даже представить себе, что они существовали не всегда, а были изобретены человеком.

КАК ПОЯВИЛИСЬ ЦИФРЫ И ЧИСЛА.

1. Арифметика каменного века.

Сначала люди научились узнавать число предметов или животных, делая особые зарубки на счетных палочках, вести счет.

Мысль о счете пришла людям в голову раньше, чем появились цифры. Люди могли сообщить друг другу, что в одном стаде животных больше чем в другом, а вот, сколько именно – сосчитать не умели.

Древние люди не умели считать. Да и считать им было нечего, потому что предметов, которыми они пользовались – орудий труда, - было совсем немного: один топор, одно копье… Постепенно количество вещей увеличивалось, обмен ими все усложнялся и возникла потребность в счете.

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменные топор и нож. И ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникла необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем; сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные орудия) и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварни, отмечают число фляг такими же зарубками. До сих пор в русском языке сохранилось слово «бирка». Теперь так называют дощечку с номером или надписью, которую привязывают к кулям с товаром, ящикам и тюкам и т.д. А еще двести –триста лет назад это слово означало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга и подати. Бирку с зарубками раскладывали пополам, после чего одна половинка оставалась у должника, а другая у сборщика податей. При счёте

половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или подати без спора и сложных вычислениях.

2. Числа начинают получать имена .

Они могли представить себе такие числа как один, два, три. Все другие числа они означали понятием «Много». Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» - три, «окоза-окоза» - четыре, «окоза-окоза-урапун» - пять, «окоза-окоза-окоза» - шесть. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».

В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень».

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги.

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета (Рис. 1). Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочкашнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.

Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки (Рис. 2).

рис.2

После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры.

Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …: (Рис. 3).

Длятого чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы: (Рис.4).

Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.

Похожим образом обозначали числа на острове Крит, расположенном в Средиземном море. В критской письменности единицы обозначались вертикальной чёрточкой | , десятки – горизонтальной - , сотни – кружком ◦ , тысячи – знаком ¤ .

Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин q (1) и лежащий клинt (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так:t t qqq Число 60 снова обозначалось знаком q , например число 92 записывали так:q ttt qq

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой, например, запись ‗‗‗‗‗‗ означала 14. системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквамиГ, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначенияr r r Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели (Рис.5)

рис.5

Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так (Рис.6)

Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записичисел,которыми мы пользуемся: 0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9.

Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.

3. Римские цифры .

Из всех странных нумераций римская является единственной, сохранившейся до сих пор и довольно широко применяемой. Римские цифры употребляются и сейчас для обозначения столетий, нумерации глав в книгах и др.

Для записи чисел в римской нумерации надо запомнить изображение семи чисел.

I V X L C D M

1510501005001000

С их помощью можно записать любое число не больше 4000. Некоторые числа записываются при помощи повторения римских цифр:

III = 3 · 1 = 3,XX = 2 · 10 = 20.

Кроме того, используется принцип сложения и вычитания. Если меньшая по значению буква стоит после большей, то их значения складывают:

VI = 5 + 1 = 6,MC = 1000 + 100 = 1100

Если меньшая цифра стоит перед большей, то из большего вычитают меньшее:

IV = 5 – 1 = 4,СМ = 1000 – 100 = 900.

Задание. Какие числа обозначают запись: ХХХVI ,СХLV ?

(ХХХVI = 3 · 10 + (5 + 1) = 36,

CXLV = 100 + (50 – 10) + 5 = 145.)

4.Цифры русского народа .

Наши предки пользовались алфавитной нумерацией, то есть числа изображались буквами, над которыми ставился значок ~, называемый «титло». Чтобы отделить такие буквы – числа от текста, спереди и сзади ставились точки.

Этот способ обозначения цифр называется цифирью. Он был заимствован славянами от средневековых греков – византийцев. Поэтому цифры обозначались только теми буквами, для которых есть соответствия в греческом алфавите (Рис. 7).

Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ:

Десять тысяч – тьма,

десять тем – легион,

десять легионов – леорд,

десять леордов – ворон,

десять воронов – колода.

Такой способ обозначения чисел по сравнениюс принятой в Европе десятичной системой был очень неудобен. Поэтому Пётр I ввёл в России привычные для нас десять цифр, отменив буквенную цифирь.

5. САМЫЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА .

Ряд чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9… называется натуральным. А сами эти числанатуральными. Возник этот ряд в глубокой древности, когда у людей возникла потребность в счете предметов. С появлением натурального ряда был сделан первый шаг к созданию математики. Сейчас все понимают, что натуральный ряд чисел бесконечен. В древности люди этого не знали. Сначала они умели считать до трех, потом до десяти, до сорока, до ста, а дальше была «тьма». Натуральный ряд был очень коротким. Расширить его удалось великому механику и математику древности Архимеду. Архимед написал знаменитый труд Псаммит, или Исчисление песчинок». В нем он подсчитал число песчинок, которые могли бы заполнить шар радиусом 15.000.000.000.000 километров. До Архимеда в Древней Греции самым большим числом считалось 10.000.000 мириад. Мириадой называлось число 10000, от греческого слова «мирос» - «неисчислимо большое». Архимед начал считать мириадами мириад и в результате вывел свою систему счисления. Наибольшее число его системы содержит 80.000.000.000.000.000 нулей. Это число так велико, что если напечатать его обыкновенным шрифтом на машинке, то этой лентой можно опоясать Земной шар по экватору более 2 миллионов раз. Даже ракете с первой космической скоростью (8км/с) пришлось бы лететь вдоль этой ленты более 300 лет.

Вот до какого огромного числа простирается натуральный ряд. Но и это число не последнее. За ним еще числа, числа, числа, числа… до бесконечности. Если натуральный ряд чисел кажется вам скучным и однообразным, всмотритесь в него повнимательнее, и вы найдете много удивительного и неожиданного.

Например, обыкновенное число 37. А теперь умножьте его на три, потом на шесть и так далее… На этом чудеса числа 37 не кончаются. Возьмем любое трехзначное число, которое делится на 37. Пусть это будет 185. И сделаем в нем круговую перестановку – последнюю цифру поставим на первое место, не изменив порядка остальных. Получим 518. Сделаем еще одну перестановку. Получим 851. Оба эти числа также делятся на 37. Вот вам и диковинка!

6.Системы счисления .

Первые математики считали по пальцам одной руки. До пяти. А если предметов было больше, то говорили «пять и один», «пять и два»… Так возникла пятеричная система счисления. Потом пальцев руки стало недостаточно и появилось десятеричная система счисления – на пальцах обеих рук. Дальше – больше. Человеку пришлось «разуться» и считать по пальцам рук и ног. Возникла двадцатеричная система счисления.

Но и этого, как вы понимаете, оказалось мало. Тогда придумали шестидесятеричную систему. Стали считать тройками, по числу суставов на каждом пальце левой руки без большого пальца, то есть до двенадцати. Каждый палец левой руки означал 12. Если один палец это 12, то пять пальцев – это 60.

И, наконец, счет так усложнился, что людям пришлось изобрести цифры для обозначения числа, которых становилось все больше и больше. Разные народы изобретали свои цифры для записи чисел.

Следы двадцатеричной системы сохранились в французском языке. Число 80 по-французски звучит как «четырежды двадцать» - guatre – vingt ; 90 – как «четырежды двадцать и десять» - guatre – vingtdix ; 91 – как «четырежды двадцать и одиннадцать» - guatre - vindt onze .

Шестидесятеричную систему изобрели древние вавилоняне. В наследство от них нам осталось деление суток на 24 или 12 двойных часов, деление часа на 60 минут, а минут на секунды и деление круга на 360 градусов.

А самой удобной оказалась десятеричная система, та самая, которой мы пользуемся и сегодня. Цифры, которыми мы записываем числа, называются арабскими. Их всего 10. Изобретены эти цифры были в Индии, но получили название арабских, потому что в Европу пришли из арабских стран. Многие годы форма цифр совершенствовалась и теперь принята во всем мире. Так постепенно зарождалась математика. Человек незаметно очутился в мире чисел. И оказалось, что в этом мире его ждет много удивительного и даже таинственного…

Когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать, узнавать их свойства. С помощью чисел выражали и такие понятия, как справедливость, дружба. Ученые установили, как по записи числа узнавать, на какие другие числа оно делится. Они научились находить простые числа и стали изучать их свойства. Иногда открытия в науке о числах делали совсем юные математики. Математику применяют и для шифрования и для расшифровки донесений разведчиков, сообщений дипломатов, военных приказов. Некоторые методы шифровки и расшифровки сообщений основаны на свойствах чисел, в частности на особой арифметике, которую. Называют арифметикой остатков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Депман И.Я.,Виленкин Н.Я. За страницами учебника матема ики. – М.: Просвещение, 1989.

2.Крейг А. иРосни К. Наука. Энциклопедия. – М.: «Росмэн», 1994.

3. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы /Шаврин Л.Н.,Гейн А.Г.,Коряков И.О., М.В. Волков М.В. – М.: Просвещение, 1989.

4. Ризванова Х.Я. Книга для внеклассного чтения по математике.– Уфа: Китап, 1998.

5. Шпорер З. Ох, эта математика! – М.: педагогика, 1985.

6. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.

Наряду с обычными логографическими, составными, буквенно-составными знаками употребляются особенные письменные знаки. Это цифры, алгебраические, геометрические, химические, астрономические, метеорологические, а также разделительно пунктуационные, диакритические знаки и т.п. Отдельную группу занимают ноты.

Цифры

Цифры в отличие от букв нашего письма являются идеографическими символами современного письменного языка.

Еще и сейчас наука не может ответить на вопрос, когда и как развилось первое письмо, так же точно не может она точно сказать, когда и как возникли первые цифры, а также первые знаки для обозначения количественных единиц. С натуральными числами люди познакомились на рассвете цивилизации. Почти все цифровые системы строились по десятичному принципу. Чуть ли не единственное исключение - системы майя и ацтеков с их пяти-двадцатичным принципом. Главенствующее положение десятичной системы объясняется тем, что древнейшим орудием для исчисления у человека были две руки с десятью пальцами. Тем не менее у вавилонян был в обиходе шестидесятичный принцип исчисления, связанный с их весовыми единицами. То, что именно человеческие пальцы были первым орудием исчисления, можно убедиться, например, по такому факту: в хамитском языке в Африке слова рука и пять и произношение слов десять и две руки имеют общий корень. Практически все цифровые системы имели самостоятельные знаки только для простейших чисел; количество таких знаком колебалось от 4-5 до 30. Остаток цифр получали при помощи сложения (например, в римской системе число 6- сложением знаков "пять" и "один" (VI)). Большие числа иногда получали по принципу умножения (например, в греческой ионической системе над знаком "десять тысяч" ставился знак "три", и это должно было означать "тридцать тысяч"; реже употредляли принцип вычитания (например, римские цифры IV, IX). Существенным, но позним достижением в истории цифр было использование "позиционного принципа", по которому числовое значение цифровых знаков зависит не только от их формы, а и от места (например, 52, 25). Развитие позиционного принципа послужило появлением знака ноль. Интересно, что слово цифра происходит от арабского пустота , и сначала это слово означало ноль . Знак 0 указывал отсутствие числа.

Развитие цифр связано с общим развитием письма. На ранней пиктографической стадии письма цифр еще не существовало. На случай необходимости обозначения числа вещей рисовали эти вещи, изображение необходимое количество раз. Позже возник более сложный способ: изображали предмет, о котором шла речь, а рядом ставили точки или черточки, количество которых указывало на нужное число. Этот способ использовался в начале XIX века на российских монетах. Точки, поставленные рядом с цифрой, определяли стоимость монеты. Такой принцип был удобен для передачи небольших чисел, употребляемых на ранней стадии развития общества; точки и черточки послужили прототипом простейших цифровых знаков - единиц.

Как люди считали и как называли числа до изобретения письма, мы точно не знаем. На рассвете цивилизации люди обходились тремя числами: "один", "два", "много". Прошло, наверное, не одно тысячелетие, прежде чем это исчисление продвинулось дальше. В любом случае, ко времени изобретения письма люди умели уже неплохо считать.

Как мы отмечали, ацтеки и майя использовали пяти-двадцатичную систему исчисления. Особенными знаками у них для написания единиц были точка, пяти- черточка, двадцати- флажок. Остальные цифры получали повторением, сложением основных знаков, например:

По Ю.В.Кнорозовым, майя употребляли и позиционный способ записи чисел(1). Используя свою систему исчисления, майя достигли высокой степени математических и астрономических знаний.

Известно, что клинописная система записи чисел родилась почти 4000 лет назад. Эта система была очень распространена на Ближнем Востоке. Даже в современной практике отображено влияние вавилонской культуры далеких времен. Когда под конец III века до н.э. произошло слияние двух народов шумер и аккадян (Северная часть Вавилона к началу эллинистического периода истории называлась Аккад), единицей веса у шумеров была мина (приблизительно 0,5кг.), денежной единицей- мина серебра. У аккадян основная единица- шекель была приблизительно в шестьдесят раз меньше. После слияния упомянутых народов у них в обиходе остались обе системы единиц измерения. Минами и шекелями пользовались тогда так, как мы теперь пользуемся килограммами и граммами. В денежном обиходе мины и шекели играли роль наших рублей и коппек, но с той разницей, что большая единица измерения равнялась не 100, а 60 мелкими единицами. Позже здесь возникает еще большая единица измерения "талант", один талант равнялся шестидесяти мин. Такая система сохранялась до наших дней для измирения углов и времени. Ведь шестую часть круга делят на 60 градусов, градус на 60 минут, минуту на 60 секунд. Минута означает по латыни маленькая .

В качестве тестового материала клиновидного письма, так и цифры писали палочками- вдавливая их у мягкую глину. Народы Передней Азии, которые употребляли клиновидное письмо (вавилоняне, ассирийцы, хетты, эламиты), обозначали разные числа в шестидесятичной системе при помощи трех основных значений. Первым знаком был клин, обернутый острым улгом книзу , вторым был знак, составленный из двух клиньев, поставленных наискосок и соединенных своими основами , а третьим - горизонтально уложенный клин, повернутым своим острием вправо .

Для написания числа 1 употреблялся первый знак, то есть клин, поставленный вертикально острием книзу; для обозначения числа 2 служили два таких клина и так далее. Для написания числа десять (10) употребляли второй знак , для числа 100- комбинацию первого и третьего знаков, то есть вертикально поставленный клин и рядом с ним уложенный горизонтально (). Когда хотели этими знаками написать, например 200 или 300, писали столько вертикально поставленных клиньев, сколько имеется в числе сотен, и рядом с ними один горизонтально уложенный клин, который играл роль мультипликатора (умножителя).

Тысячу обозначали так: написав число десять, к нему справа дописывали знак сотни, а число десять тысяч обозначали так: написав цифру 10, к ней справа дописывали тысячу.

Когда к вертикальному клину слева добавлялся горизонтально уложенный, это означало (60).

Переднеазиатская система цифр, так как и система клинописи, была очень сложной на то время; она оказалась наиболее прогрессивной среди древних систем; в ней впервые было употреблено позиционный принцип, который давал возможность записывать очень большие числа, и было введено особый знак (праобраз ноля) для обозначения того, нет никакого разряда цифр.

На протяжении трех тысячелетий в восточном бассейне Средиземного моря у финикийцев (фiнiкiян (укр)), киприотов и жителей о.Крит было похожее написание цифр: они имели три основные признаки: вертикальную черту, которая служила за единицу, горизонтальную черту, которая обозначала число десять, кружочек- сто. Комбинациями этих знаков можно было обозначать разные числа:

На о.Кипр, который лежит на той же параллели, что и о.Крит, через 500 киломметров на восток от него система чисел была почти той же, что на о.Крит, но за десять служил знак, похожий заглавной (версальной) латинской L или малому полукругу

Китайские цифры)

Древнейшие китайские цифры, как и древнейшее китайское письмо, возникли во время правления легендарного царя Фу Си, который жил в III тысячелетии до н.э., с ним китайская национальная традиция связывает начало китайского письма. Он вроде как изобрел восемь магических триграмм, которые играли роль в ворожении и назывались "паква", что означает "восемь гадальных триграмм".

Китайские цифры того времени по своим признакам напоминают древнейшее китайское письмо "паква".

Китайцы пользуются тремя системами исчисления, которые базируются на числе десять (10), а знаки (цифры) построены по системе сложения и умножения. Основные знаки такие:

Числа, как и текст, пишутся в вертикальном направлении. Когда в столбике сверху стоят единицы, то есть числа от 1 до 10 (исключено 9), то эти единицы играют роль умножителя, например:

В коммерческих документах китайцы пишут цифры горизонтально, ставя знаки высшего разряда слева. Они имеют такой вид:

Третья китайская система чисел графически построена на основе вертикальных черточек и горизонтальной черты- основы, цифры, также как и в двух предыдущих системах, располагаются позиционно.

Египетская система исчисления

У древних египтян была довольно высоко развита система исчисления. На одной надписи, которая приходится на 3800г. до н.э., мы встречаем число один миллион четыреста двадцать две тысячи (1 422 000). В британском музее сохраняется папирус под названием Риндус - "Путь познания тайн...". Из него узнаем, что египтяне делали тогда сложные математические операции, знали дроби, число , то есть 3,14 и так далее.

Египетская система чисел была построена на основании строгого соблюдения десятичного принципа. Для обозначения единиц использовались горизонтальные, реже- вертикальные черточки, для десяти- дуга, для сотен- согнутая веревка, для тысячи- стебель лотоса, для десяти тысяч- согнутый палец, для сотни тысяч- головастик (потому что головастики выводились в большом количестве). Для миллиона служил знак в виде человека, который поднял руки вверх от удивления перед таким большим числом. В другом трактовании, это божество, которое поддерживает небосклон.

Остальные числа получали по принципу сложения упомянутых основных чисел, поставленных рядом; таким образом, для числа двадцать пять (25) пишут две дуги (лука) и пять черточек, для обозначения 1852 писали один знак тысячи, восемь знаков сотен, пять знаков десяти и два знака единцы.

Цифровые знаки начали использовать в Египте еще в додинастический период, при переходе от пиктографии до логографии. Так, в записи Нармера на шиферной таблице (конец IV тысячелетия до н.э.) существуют такие стебли папируса, которые трактуются египтологами как обозначение тысячей. Начиная с "Среднего царства", обозначение больших чисел строилось не по принципу сложения, а по принципу умножения. По мере развития египетской письменности, особенно, когда египтяне начали писать на папирусе, цифры в иератическом и демоническом письме формировались так:

Написание цифр в египетском письме развивалось так, как и текстовое письмо. Соответственно различаем иероглифические, иератические и демонические цифры.

Европейские системы исчисления, греческие, еврейские, славянские, этрусские, римские и другие

Как нам известно, древнейшие цифры, которые были в обиходе в Европе, это знаки греческой античной системы, в которой буквы служили цифровым кодом, так называемой геродиановой, который получил свое название от имени Геродиана Александрийского (IIв. до н.э.). Но Геродиан не был автором этой системы. Эти цифры, наверное, происходят из IVв. до н.э., еще в Периклово время приблизительно 500г. до н.э. они были в широком употреблении. Но со времени Плутарха (приблизительно 100г. до н.э.) они вышли из обихода.

Геродианова система продержалась недолго, и греки позже для обозначения чисел до 24 употребляли отдельные буквы азбуки:

Позже греки ввели в обиход специальные обозначения для единиц, отдельные для десятков и сотен, а именно:

Способ написания чисел при помощи отдельных букв азбуки издавна употреблялся в еврейском письме. Из 22 букв азбуки девять первых служили для записи единиц, следующие девять обозначали десятки, а последние четыре употреблялись для записи сотен (до 400). Когда нужно было написать больше сотен, путем соединения знаков предыдущих четырех сотен получали еще четыре сотни, а дальше для обозначения чисел вводились вспомогательные знаки:

Тысячи евреи писали, ставя с соответствующим знаком сотен две точки, это означало, что число (сотен) умножается на десять.

Такая система исчисления была в обиходе древних сирийцев, а некоторое время ею пользовались арабы, пока ее не вытеснили цифры, которые были занесены из Индии.

Славянские системы исчисления

Вместе с письмом, котрое позаимствовали древние славяне от греков и которое сами развили (глаголца), они переняли от греков и привычку писать числа при помощи отдельных букв своей азбуки. В глаголице для обозначения чисел употреблялись такие буквы:

В старой церковнославянской кириллице цифры обозначались также буквами:

Славяне, в особенности православные, довольно длительное время, а именно до начала XIX века, пользовались этим кодом написания чисел до окончательной замены ее арабскими. Кулунджич оповещает, например, что на многих старых сербских церковных образах до XIX века можно читать старославянские цифры-буквы, которые служат для датирования исторических достопримечательностей (памяток). Любмир Стоянович в своей работе "Старосербские записи и надписи" приводит надпись на могильном камне в алтаре монастыря Дечани, датированный 1867 годом.

В нашей славяно-кириллической системе чисел цифровое значение получили, как правило, только буквы, позаимствованные из греческого письма. 27 знаков- строчных букв, над которыми ставится к тому же специальный знак - титло (), который употребляется также в обычном славянском письме для сокращения слов:

Числа одиннадцать, двенадцать записывались соответственно так: , двадцать один, двадцать два - и так далее. Титло ставилось только над одной из цифр. Порядок цифр при записывании числа был такой же, как и в устном названии этого числа. Мы говорим, например, "пятнадцать" (по-славянски пять на десять), то есть, называя сначала единицу, а потом десяток. Славяне так и писали: , то есть сначала "пятерку", а за ней десяток. Наоборот, в числе "двадцать три" мы сначала называем десятки, потом единицы. Соответственно условию этого числа его писали так . При помощи кириллических знаков легко записывались большие числа. Число 29 946 определялось, например, так: , знак означал тысячи. Путем повторения его можно было записывать очень большие числа. Вот как, например, записывалось число 20 178 073: .

Десять тысяч называли "тьма", и число это считалось таким большим, что тем же словом обозначалось любое неисчислимое количество. Позже (XVI-XVIIв.) появилась своеобразная система именования чисел- "большое славянское число"; в этой системе числа до 999 999 называют почти так же, как теперь. Слово "тьма" здесь означает не десять тысяч, а миллион. Кроме того, появляются такие названия: "тьма тем" или "легион", то есть миллион миллионов, али по-современному триллион- ; легион легионов ("леодр"), который записываем теперь при помощи единицы с 24 нолями (сентильон- ; наконец, леодр деодров ("ворон"), то есть . Об этом числе наши предки говорили, что "боле сего несть разумевати".

Использование в практике букв для обозначения чисел в основном уже отошло и интересно для нас теперь как историческое прошлое. Единственные цифры-буквы, которые рядом с индийскими-арабскими еще задержались в обиходе до наших дней, это так называемые римские цифры, которые вернее было бы называть этрусскими, поскольку творцами этой системы чисел были именно этруски, а римляне их получили готовыми от этрусков, так как и латынское письмо. Упомянутые этрусские цифры имели такой вид:

Таким способом писали числа и другие староитальянские народы: оски, умбры, самниты и другие, и в том числе римляне. Позаимствовав у этрусков способ написания чисел, римляне немного его изменили. Вместо того, чтобы писать справа налево, как этруски, римляне писали цифры слева направо. Проходя различные фазы эволюции написания чисел в Риме, приведем здесь римские цифры, которые получили свой конечный образ в семи знаках латиницы:

Форма римских цифр происходит от счета на пальцах и от словесного наименования чисел. По первому принципу построены цифры: 1(один палец), V (ладонь с отставленным большим пальцем), X (скрещенные руки); по другому принципу цифры C (первая буква слова centum- сто) и M (первая буква слова mille- тысяча); нет достаточных сведений о происхождении цифр L и D. В древних римских памятниках (до нашей эры) цифра D (500) не встречалась, а для чисел 50, 100, 1000 использовали иногда западногреческие буквы.
При помощи семи упомянутых выше латинских букв можем написать любое число.

Римскими цифрами широко пользовались в средневековье, перед появлением в Европе так называемых арабских цифр. Теперь римские цифры используют для обозначения исторических дат, на циферблатах часов, в случаях сложной нумерации, когда одной арабской системы цифр становится недостаточно (например, когда книга разделяется на разделы, которые в свою очередь делятся на подразделы).

Арабская система счета

Ноболее совершенная цифровая система, которая получила название арабской, была создана в Индии приблизительно Vв. Арабы занесли ее в Европу. Наиболее важным и новым в индийской системе было последовательное использование позиционного принципа записи цифр и знака ноля, аналогично употребляемому в системе чисел майя и вавилонской. Что до позиционной записи цифр, нужно обратить внимание на то, что она хоть и использовалась у вавилонян в римской и других системах, но не последовательно.

При помощи девяти знаков- арабских цифр (1,2,3,4,5,6,7,8,9) и ноля (0) мы можем записать любое число. Первые цифры упомянутого типа появляются в IIIв. до н.э. в записи индийского царя Ашока (273-232гг. до н.э.), но в этой записи цифры не придерживаются определенных мест, нет в обиходе ноля. Совершенная система цифр была создана в Индии только в Vв. на основе последовательного использования принципов, проверенных всей историей развития цифр - десятичного, позиционного и принципа сложения, а также на основании использования знака "ноль" (приблизительно 500г. н.э.)

Предполагают, что арабы познакомились с индийскими цифрами тогда, когда в Багдад в 772/773 г.н.э. прибыло посольство, которое привезло с собой какие-то астрономические книги, написанные азыком и письмом санскрита. Благодаря этим книгам арабы узнали о индийских цифрах, децимальной системе и назвали их сами сначала hindyan , arquam , , что в переводе и изначает индийские цифры. Об этом писал араб Кхуваризми в своей известной работе, первой арабской книге о числах "Chisab hindu".

В 1130 году упомянутый труд перевел на английский язык англичанин Абелард из База под названием "Liber Algoritmi de numero Indorum". Итак, европейцы узнали новую систему исчисления, которую согласно арабской работе назвали algoritmus или algorismus . В Испании первые случаи использования арабских цифр приходятся на X век, в других странах Европы на XII век.

Почти через восемьдесят лет после перевода Абеларда появилась книга итальянского математика Леонардо Фибоначчи из Пизы "Liber abaci" ("Книга счета" 1208), а в 1494г. появилась книга Луки Пачоли "Summa Aritmetica" ("Сущность арифметики"). С XV века арабские цифры получили уже более значительного распространения в Европе, подвинув римские цифры.

На Руси арабские цифры появляются в XIV-XV вв., распространяются в XVIIв., а в XVIIIв., после введения гражданской азбуки в России, окончательно вытесняют в общественной печати славяно-кириллические цифры.

Первобытные формы арабских цифр были несколько иными (кроме знаков 1,6,7,8,9,0), чем формы их в Европе, где они окончательно развились до современных форм уже на конец среднивековья.

В наше время в близком к первобытному начертанию виде арабские цифры распространены в тех странах, которые пользуются арабской системой письма (Ирак, Афганистан, Пакистан и др.).

Десятичные дроби, введенные в Европе нидерландским ученым С.Стевином, были значительным усовершенствованием арабской системы цифр. После этого арабские цифры стали пригодны для десятичной позиционной записи любых малых и больших чисел.

Печатные шрифты для передачи цифр в ассортименте отечественных типографий

В отечественном шрифтовом хозяйстве типографий в комплект знаков кириллической основы входят, за исключением табличной, банниковской Баченаса и Лазурского гарнитур, только маюскульные цифры, высота которых равняется высоте заглавных букв. В гарнитурах латинских шрифтов в комплект иногда входят цифры в двух начертаниях: медиевальном и обычном

Наличие медиевальных цифр в ассортименте печатных шрифтов дает возможность составителю придерживаться стилевого единства при сочетании в тексте цифровых материалов с медиевальными шрифтами.

Разделительные знаки

Разделительные знаки служат для синтаксического разделения речи - для обозначения границ между предложением, простым и сложным, и для выделения отдельных членов или элементов предложений (например, точка, запятая). Кроме того, сущетсвуют знаки для обозначения интонации и содержательных оттенков (например, вопросительные знаки, восклицательные, кавычки).

В современном украинском, российском и латинском письме используется 10 разделительных знаков, из них 6 для расчленения речи и рассоединения ее элементов (точка, запятая, точка с запятой, две точки, тире, кавычки) и 4 знака для разделения речи и подчеркивания эмоциональн-смысловой ее характеристики (вопросительный знак, восклицательный знак, кавычки и точки). Кроме перечисленных знаков употребляется еще особый знак - дефис (-) для соединения слов. Касательно употребления вопросительного знака и восклицательного знака, в испанском письме ставят эти знаки не только так, как обычно, то есть в конце предложения, но и вначале в перевернутом виде, чтобы читатель заранее знал, с какой интонацией нужно читать предыдущее предложение. В стихотворениях при необходимости вместо заголовков употребляется обозначение из трех звездочек , а если звездочки поставлены наоборот , тогда они служат вместо подписи автора.

Диакритические и другие знаки

К диакритическим знакам принадлежат надбуквенные, подбуквенные, а также помещенные в середину буквы знаки. Назначение этих знаков - не самостоятельно определять звук, а только изменять, уточнять (различать) звуковое значение основных букв алфавита. Например:

Среди особенных печатных знаков, которые широко употребляются в зарубежной практике, существует знак (англ. ampersand; нем. Et-Zeichen; франц. et-commercial, что сокращенно означает и ). Такой знак, например, всегда ставится для соединения фамилий хозяев объединенной фирмы. Знак & происходит от соединения слов and per se and. Для обозначения английской валюты- фунтов стерлингов- используют знак . Для обозначения валюты США - долларов - служит знак . Для обозначения немецких марок употребляется аббревиатура DM.

Выше мы отметили, что к особенным письменным знакам принадлежат также: алгебраические, геометрические, химические, астрономические, метеорологические и другие. Такими знаками пользуются в трудах определенных отраслей науки и техники, где они и описываются.

(1) См.: КнорозовЮ.В. Письменность индейцев майя. М.-Л., 1963.

Сайт о искусстве и творчестве