Симплекс метод целевая функция. Линейное программирование. Симплекс-метод
Если вы уже разобрались с графическим методом решения задач линейного программирования, самое время переходить к симплекс-методу . В отличие от первого, он практически не имеет ограничений на задачу (любое количество переменных, разные знаки и т.п.) и модифицируется в зависимости от типа задачи (например, М-метод или метод искусственного базиса).
При решении задачи симплекс методом вычисления обычно ведутся (для компактности и наглядности) в таблицах (табличный симплекс-метод), причем последняя таблица с оптимальным решением содержит важную дополнительную информацию: решение двойственной задачи, остатки ресурсов, сведения о дефицитных ресурсах и т.п., которая позволяет провести экономический анализ задачи линейного программирования (см. ниже пример 3).
Примеры решений задач симплекс-методом выложены бесплатно для вашего удобства — изучайте, ищите похожие, решайте. Если вам нужна помощь в выполнении подобных заданий, перейдите в раздел: решение линейного программирования на заказ.
Решение задач симплекс-методом: примеры онлайн
Задача 1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров — А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В — 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В — 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В — 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?
Составление математической модели и решение ЗЛП симплекс-методом (pdf, 33 Кб)
Задача 2.
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом. 
Решение симплекс-методом с искусственным базисом (pdf, 45 Кб)
Задача 3. Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.
- Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?
- Определить статус каждого вида сырья и его удельную ценность.
- Определить максимальный интервал изменения запасов каждого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.
- Определить количество выпускаемой продукции и прибыль от выпуска при увеличении запаса одного из дефицитных видов сырья до максимально возможной (в пределах данной номенклатуры выпуска) величины.
- Определить интервалы изменения прибыли от единицы продукции каждого вида, при которых полученный оптимальный план не изменится.
Решение задачи линейного программирования с экономическим анализом (pdf, 163 Кб)
Задача 4.
Решить задачу линейного программирования симплексным методом: 
Решение табличным симплекс-методом с поиском опорного плана (pdf, 44 Кб)
Задача 5.
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом: 
Решение табличным симплекс-методом (pdf, 47 Кб)
Задача 6.
Решить задачу симплекс-методом, рассматривая в качестве начального опорного плана, план, приведенный в условии:
Решение ручным симплекс-методом (pdf, 60 Кб)
Задача 7.
Решить задачу модифицированным симплекс-методом.
Для производства двух видов изделий А и Б используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется а1=4 часов, оборудование второго типа а2=8 часов, а оборудование третьего типа а3=9 часов. На производство единицы изделия Б оборудование первого типа используется б1=7 часов, оборудование второго типа б2=3 часов, а оборудование третьего типа б3=5 часов.
На изготовление этих изделий оборудование первого типа может работать не более чем t1=49 часов, оборудование второго типа не более чем t2=51 часов, оборудование третьего типа не более чем t3=45 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет АЛЬФА=6 рублей, а изделия Б – БЕТТА=5 рублей.
Составить план производства изделий А и Б, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Решение модифицированным симплекс-методом (pdf, 67 Кб)
Задача 8.
Найти оптимальное решение двойственным симплекс-методом
Решение двойственным симплекс-методом (pdf, 43 Кб)
Примеры решений задач по линейному программированию
Методы решения задачи линейного программирования
Опорные решения задачи линейного программирования
Пусть дана задача линейного программирования в канонической форме записи
при условиях
Будем обозначать через множество решений системы (2) – (3). Предположим, что , где – ранг матрицы , – количество уравнений в системе (2).
Из системы векторов-столбцов матрицы выберем некоторую линейно независимую подсистему из векторов . Она существует, так как . Эта система образует базис в . Обозначим через , . Назовем множеством базисных значений индекса , – базиснойподматрицей матрицы . Координаты вектора будем называть базисными , если , и небазисными в противном случае.
Запишем систему (2) в виде . Разобьем слагаемые левой части на базисные и небазисные, то есть
Определим частное решение этой системы следующим образом. Положим в (4) все небазисные переменные равными нулю . Тогда система (4) примет вид
Назовем (5) базисной подсистемой системы уравнений (2). Обозначим через вектор, составленный из базисных координат вектора . Тогда систему (2) можно переписать в векторно-матричном виде
Так как подматрица является базисной, она
невырождена. Поэтому система (6) имеет единственное решение . Полученное таким образом частное решение системы (2) назовем опорным решением прямой задачи линейного программирования, соответствующим базису . (Иногда опорное решение также называют базисным ). Как видим, базису соответствует единственное опорное решение. Очевидно, что число опорных решений конечно.
Для данного базиса определим также и опорное решение двойственной задачи линейного программирования. Напомним, что задача двойственная к канонической имеет вид
при условиях
Запишем систему (8) в виде
Напомним, что множество решений системы (8) обозначается через .
Определим вектор двойственных переменных из условия выполнения базисных ограничений в системе (9) как равенств. Получим следующую систему линейных уравнений:
Обозначим через вектор, составленный из ба-
зисных координат вектора . Тогда систему (10) можно переписать в векторно-матричном виде
Система (11) также имеет единственное решение .
Назовем его опорным (базисным ) решением двойственной задачи линейного программирования, соответствующим базису . Это опорное решение также определяется однозначно.
Итак, любому базису соответствуют два вектора – два опорных решения и прямой и двойственной задач линейного программирования, соответственно.
Определим далее следующие разновидности базисов и опорных решений. Если все координаты опорного решения неотрицательны, то базис, которому соответствует это опорное решение, называется допустимым опорным планом прямой задачи линейного программирования, а соответствующее тому же базису опорное решение называется псевдопланом двойственной задачи. Фактически для допустимости базиса достаточно неотрицательности базисных координат . Заметим, что опорный план является допустимым вектором прямой задачи линейного программирования ().
Если опорное решение удовлетворяет всем ограничениям (9) двойственной задачи, то базис, которому соответствует это опорное решение, называется двойственно допустимым . В этом случае вектор называется опорным планом двойственной задачи линейного программирования, а соответствующее тому же базису опорное реше-
ние называется псевдопланом прямой задачи.
Для двойственной допустимости базиса достаточно выполнения только небазисных неравенств . Заметим, что опорный план является допустимым вектором двойственной задачи линейного программирования ().
Разности левых и правых частей неравенств (9) обозначим через , . Тогда двойственную допустимость базиса можно устанавливать, проверяя неотрицательность всех . Заметим, что, как следует непосредственно из определения, все базисные невязки равны нулю ().
Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом
Поэтому достаточно убедиться в выполнении неравенств для всех .
Теорема 1. Пусть и – опорные решения задачи линейного программирования, соответствующие некоторому базису , тогда имеет место равенство .
Доказательство . Из определений опорных решений легко получить равенства
откуда и следует справедливость теоремы.
Теорема 2. (Критерий оптимальности опор-ных решений) Если базис одновременно допустим и двойственно допустим, то соответствующие ему опорные решения и являются решениями, соответственно, прямой и двойственной задач линейного программирования.
Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из теории двойственности в линейном программировании и теоремы 1.
Теорема 3. Допустимое решение задачи (1) – (3) является опорным планом задачи тогда и только тогда, когда оно является вершиной выпуклого многогранного множества .
Доказательство. Пусть – опорный план задачи (1) – (3). Докажем, что – вершина множества . По определению опорный план – допустимое опорное решение, соответствующее некоторому базису , то есть – решениесистемы линейных уравнений относительно переменных
Легко увидеть, что эта система имеет единственное решение. Значит, несущая плоскость грани, содержащей точку , имеет размерность 0. Следовательно, – вершина множества .
Обратно. Пусть – вершина множества . Докажем, что – опорный план задачи (1) – (3). Так как – вершина, то она является гранью множества , размерность которой равна нулю. Следовательно, у вектора найдется не менее нулевых компонент, множество номеров которых обозначим . Таким образом, – единственное решение системы
где . Поэтому осталось доказать, что система векторов линейно независима. Предположим противное. Тогда существуют числа не все равные нулю, такие что . Поэтому
Это означает, что система (12) имеет решение, отличное от , что противоречит единственности ее решения. Таким образом, – базис, а вектор – соответствующий ему опорный план задачи (1) – (3). Что и требовалось.
Заметим, что допустимое решение задачи (7), (8) (двойственной задаче (1) – (3)) также является опорным планом тогда и только тогда, когда оно является вершиной допустимого множества .
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 695 | Нарушение авторского права страницы
Studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2018 год.(0.005 с)…
Для определенности считаем, что решается задача на отыскание минимума.
1. Задачу линейного программирования привести к каноническому виду.
После введения добавочных переменных систему уравнений и линейную функцию записываем в виде, который называется расширенной системой:
Предполагаем, что все добавочные переменные имеют тот же знак, что и свободные члены; в противном случае используем так называемый М – метод, который будет рассмотрен ниже.
2. Определить базисные и свободные переменные.
3. Исходную расширенную систему заносим в первую симплекс – таблицу. Последняя строка таблицы, в которой приведено уравнение для линейной функции цели, называется оценочной . В ней указываются коэффициенты функции цели . В левом столбце таблицы записываем основные переменные (базис), в последующих – коэффициенты при свободных переменных. В предпоследнем столбце – свободные члены расширенной системы . Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых для определения базисной переменной на основании соотношения (6.29).
4. Определить возможность решения задачи по значениям согласно теоремам 6.7,…, 6.9.
5. Выбрать разрешающий (опорный) элемент .
Решение производственной задачи табличным симплекс-методом
Если критерий оптимальности не выполнен (не выполнены условия теоремы 6.7 или 6.8), то наибольший по модулю отрицательный коэффициент в последней строке определяет разрешающий (опорный) столбец 
.
Составляем оценочные отношения каждой строки по следующим правилам:
1 0) , если все и имеют разные знаки;
2 0) , если все и ;
3 0) , если ;
4 0) 0, если и ;
5 0) , если и имеют одинаковые знаки.
Определим . Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума (). Если минимум конечен, то выбираем строку q , на которой он достигается (любую, если их несколько), и называем ее разрешающей (опорной) строкой. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий (опорный) элемент .
6 0) Переход к следующей таблице по правилам:
а) в левом столбце записываем новый базис: вместо основной переменной – переменную , т.е. поменяем местами переменные и ;
б) на место опорного элемента поставить 1;
в) на остальных местах опорной строки в новой таблице оставить элементы исходной таблицы;
г) на остальные места в опорном столбце поставить соответствующие элементы исходной таблицы, умноженные на –1;
д) на оставшиеся свободные места элементов , , в новой таблице записать числа , , , которые находятся следующим образом:
Для упрощения вычислений по этим формулам их можно сформулировать в виде «правила прямоугольника» (рис. 6.8): элементы на диагоналях прямоугольника с вершинами (или , , , , или , , , ) перемножаются (произведение, не содержащее опорного элемента , берется со знаком минус) и полученные произведения складываются;
е) все полученные элементы новой таблицы разделить на опорный элемент .
7 0) По значению элемента определить, найдено ли оптимальное значение целевой функции. В случае отрицательного ответа продолжить решение (возврат к пункту 6).
Рис. 6.8. Правило прямоугольника для определения чисел:
а − , б − , в − .
Рассмотрен алгоритм преобразования симплекс – таблиц для невырожденных допустимых базисных решений, т.е. выполнялась ситуация, описанная теоремой 6.9. Если исходная задача линейного программирования является вырожденной, то в ходе ее решения симплекс – методом могут появиться и вырожденные базисные решения. При этом возможны холостые шаги симплекс – метода, т.е. итерации, на которых f (x) не изменяется. Возможно так же и зацикливание, т.е. бесконечная последовательность холостых шагов. Для его предотвращения разработаны специальные алгоритмы – антициклины. Однако в подавляющем большинстве случаев холостые шаги сменяются шагами с убыванием целевой функции и процесс решения завершается в результате конечного числа итераций.
Пример 6.8. Решить задачу, приведенную в примере 6.7, симплекс методом.
⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 174 | Нарушение авторского права страницы
Studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2018 год.(0.002 с)…
Главная >> Пример №3. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции (искусственный базис)
Симплекс метод
| — | x 1 | + | x 2 | ≥ | 1 | |
| x 1 | + | 3 | x 2 | ≤ | 15 | |
| — | 2 | x 1 | + | x 2 | ≤ | 4 |
| Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения (при условии, что в правой части уравнения стоит положительное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис. Идея симплекс метода заключается в том, чтобы переходить от одного базиса к другому, получая значение функции, как минимум, не меньше имеющегося (каждому базису соответствует единственное значение функции). Как осуществляется переход от одного базиса к другому? |
| x 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0 S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1 |
=> W = 1 |
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | R 1 | св. член | Θ |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1: 1 = 1 |
| 1 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 15 | 15: 3 = 5 |
| -2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | 4: 1 = 4 |
| 1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | W — 1 | |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 4 | 0 | 3 | 1 | 0 | -3 | 12 | |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | -1 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | W — 0 |
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | св. член | Θ |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| 4 | 0 | 3 | 1 | 0 | 12 | 12: 4 = 3 |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F — 1 | |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F — 1 | |
| 0 | 1 | -1/4 | 1/4 | 0 | 4 | |
| 1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
| 0 | 0 | 7/4 | 1/4 | 1 | 6 | |
| 0 | 0 | -2 | -1 | 0 | F — 13 |
| S 1 = 0 S 2 = 0 x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6 |
=> F — 13 = 0 => F = 13 |
Среди коэффициентов выделенной строки нет положительных. Следовательно, найдено наибольшее значение функции F.
Ответ:
x 1 = 3 x 2 = 4
F max = 13
Перейти к решению своей задачи
© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу [email protected]
Условие задачи
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс.
Симплексный метод решения ЗЛП
руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом
, составить двойственную задачу
линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных
прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи
, в которой производится оценка ресурсов
, затраченных на продажу товаров.
Решение задачи симплекс методом
Пусть x 1 , x 2 , x 3 — количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 — ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид:
F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max
Решаем симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.
Данные заносим в симплекс таблицу
Симплекс таблица № 1
Целевая функция:
0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0
Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:
Вводим переменную x 2 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .
= 26.667
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса
3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 2
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6
Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.
Вводим переменную x 1 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса
3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 3
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1
Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.
Решение задачи:
Ответ
x 1 = 40; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x 6 = 0; F max = 160
То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс.
руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.
Решение двойственной задачи
Двойственная задача имеет вид:
Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min
Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:
Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:
Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;
Ответ
y 1 = 0; y 2 = 0; y 3 = 1; Z min = 160;
Симплексный метод – это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки (базисного решения) к другой. При этом значение целевой функции улучшается.
Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за вершиной симплекса, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплекс-метод.
Симплекс – это выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости (гиперплоскость делит пространство на два полупространства).
Например, линия бюджетных ограничений делит блага на доступные и недоступные.
Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число итераций (шагов), кроме случаев «зацикливания».
Алгоритм симплексного метода состоит из ряда этапов.
Первый этап. Строится исходная оптимизационная модель. Далее исходная матрица условий преобразуется в приведенную каноническую форму, которая среди всех других канонических форм выделяется тем, что:
а) правые части условий (свободные члены bi) являются величинами неотрицательными;
б) сами условия являются равенствами;
в) матрица условий содержит полную единичную подматрицу.
Если свободные члены отрицательные, то обе части неравенства умножаются на — 1, а знак неравенства меняется на противоположный. Для преобразования неравенств в равенства вводятся дополнительные переменные, которые, обычно, обозначают объем недоиспользованных ресурсов. В этом их экономический смысл.
Наконец, если после добавления дополнительных переменных, матрица условий не содержит полную единичную подматрицу, то вводятся искусственные переменные, которые не имеют никакого экономического смысла. Они вводятся исключительно для того, чтобы получить единичную подматрицу и начать процесс решения задачи при помощи симплексного метода.
В оптимальном решении задачи все искусственные переменные (ИП) должны быть равными нулю. Для этого вводят искусственные переменные в целевую функцию задачи с большими отрицательными коэффициентами (-М) при решении задачи на max, и с большими положительными коэффициентами (+М), когда задача решается на min. В этом случае даже незначительное ненулевое значение искусственной переменной будет резко уменьшать (увеличивать) значение целевой функции. Обычно М в 1000 раз должно быть больше, чем значения коэффициентов при основных переменных.
Второй этап. Строится исходная симплекс-таблица и отыскивается некоторое начальное базисное решение. Множество переменных, образующих единичную подматрицу, принимается за начальное базисное решение. Значения этих переменных равны свободным членам. Все остальные внебазисные переменные равны нулю.
Третий этап. Проверка базисного решения на оптимальность осуществляется при помощи специальных оценок коэффициентов целевой функции. Если все оценки коэффициентов целевой функции отрицательны или равны нулю, то имеющееся базисное решение – оптимальное. Если хотя бы одна оценка коэффициента целевой функции больше нуля, то имеющееся базисное решение не является оптимальным и должно быть улучшено.
Четвертый этап. Переход к новому базисному решению. Очевидно, что в оптимальный план должна быть введена такая переменная, которая в наибольшей степени увеличивает целевую функцию. При решении задач на максимум прибыли в оптимальный план вводится продукция, производство которой наиболее выгодно. Это определяется по максимальному положительному значению оценки коэффициента целевой функции.
Столбец симплексной таблицы с этим номером на данной итерации называется генеральным столбцом.
Для отыскания генеральной строки все свободные члены (ресурсы) делятся на соответствующие элементы генерального столбца (норма расхода ресурса на единицу изделия). Из полученных результатов выбирается наименьший. Соответствующая ему строка на данной итерации называется генеральной. Она соответствует ресурсу, который лимитирует производство на данной итерации.
Элемент симплексной таблицы, находящийся на пересечении генеральных столбца и строки, называется генеральным элементом.
Затем все элементы генеральной строки (включая свободный член), делятся на генеральный элемент. В результате этой операции генеральный элемент становится равным единице. Далее необходимо, чтобы все другие элементы генерального столбца стали бы равны нулю, т.е. генеральный столбец должен стать единичным. Все строки (кроме генеральной) преобразуются следующим образом. Полученные элементы новой строки умножаются на соответствующий элемент генерального столбца и полученное произведение вычитается из элементов старой строки.
Значения новых базисных переменных получим в соответствующих ячейках столбца свободных членов.
Пятый этап. Полученное базисное решение проверяется на оптимальность (см. третий этап). Если оно оптимально, то вычисления прекращаются. В противном случае необходимо найти новое базисное решение (четвертый этап) и т.
Симплекс метод
Пример решения оптимизационных задач линейного программирования симплексным методом
Пусть необходимо найти оптимальный план производства двух видов продукции (х1 и х2).
Исходные данные:
Построим оптимизационную модель
– ограничение по ресурсу А;
– ограничение по ресурсу В.
Приведем задачу к приведенной канонической форме. Для этого достаточно ввести дополнительные переменные Х3 и Х4. В результате неравенства преобразуются в строгие равенства.
Построим исходную симплексную таблицу и найдем начальное базисное решение. Им будут дополнительные переменные, т. к. им соответствует единичная подматрица.
1-я итерация. Находим генеральный столбец и генеральную строку:
Генеральный элемент равняется 5.
2-я итерация. Найденное базисное решение не является оптимальным, т.к. cтрока оценок (Fj-Cj) содержит один положительный элемент. Находим генеральный столбец и генеральную строку:
max (0,0.3,-1.4,0) = 0.2
Найденное решение оптимально, так как все специальные оценки целевой функции Fj – Cj равны нулю или отрицательны. F(x)=29 x1=2; x2=5.
Рассмотрим симплекс -метод
для решения задач линейного программирования (ЛП). Он основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает.
Алгоритм симплекс-метода следующий:
- Исходную задачу переводим в канонический вид путем введения дополнительных переменных. Для неравенства вида ≤ дополнительные переменные вводят со знаком (+ ), если же вида ≥ то со знаком (— ). В целевую функцию дополнительные переменные вводят с соответствующими знаками с коэффициентом, равным 0 , т.к. целевая функция не должна при этом менять свой экономический смысл.
- Выписываются вектора P i из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. Этим действием определяется количество единичных векторов. Правило – единичных векторов должно быть столько, сколько неравенств в системе ограничений.
- После этого исходные данные вводятся в симплекс-таблицу. В базис вносятся единичные вектора, и исключая их из базиса, находят оптимальное решение . Коэффициенты целевой функции записывают с противоположным знаком.
- Признак оптимальности для задачи ЛП – решение оптимально, если в f – строке все коэффициенты положительны. Правило нахождения разрешающего столбца – просматривается f – строка и среди ее отрицательных элементов выбирается наименьшее. Вектор P i его содержащий становится разрешающим. Правило выбора разрешающего элемента – составляются отношения положительных элементов разрешающего столбца к элементам вектора Р 0 и то число, которое дает наименьшее отношение становится разрешающим элементом, относительно которого будет произведен пересчет симплекс-таблицы. Строка, содержащая этот элемент называется разрешающей строкой. Если в разрешающем столбце нет положительных элементов, то задача не имеет решения. После определения разрешающего элемента переходят к пересчету новой симплекс – таблицы.
- Правила заполнения новой симплекс – таблицы. На месте разрешающего элемента проставляют единицу, а другие элементы полагают равными 0 . Разрешающий вектор вносят в базис, из которого исключают соответствующий нулевой вектор, а остальные базисные вектора записывают без изменений. Элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент, а остальные элементы пересчитывают по правилу прямоугольников.
- Так поступают до тех пор, пока в f – строке все элементы не станут положительными.
Рассмотрим решение задачи с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Дано:
Приводим задачу к каноническому виду:
Составляем вектора:
Заполняем симплекс – таблицу:
:
Пересчитаем первый элемент вектора Р 0
, для чего составляем прямоугольник из чисел: и получаем: 
.
Аналогичные расчеты выполним для всех остальных элементов симплекс – таблицы:
В полученном плане f – строка содержит один отрицательный элемент – (-5/3), вектора P 1 . Он содержит в своем столбце единственный положительный элемент, который и будет разрешающим элементом. Сделаем пересчет таблицы относительно этого элемента:
Отсутствие отрицательных элементов в f
– строке означает, что найден оптимальный план
:
F* = 36/5, Х = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).
- Ашманов С. А. Линейное программирование, М: Наука, 1998г.,
- Вентцель Е.С. Исследование операций, М: Советское радио, 2001г.,
- Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волошенко А.Б. Математическое программирование, М: Высшая школа, 1986г.
Решение линейного программирования на заказ
Заказать любые задания по этой дисциплине можно у нас на сайте. Прикрепить файлы и указать сроки можно на
Двойственный симплексный метод основан на теории двойственности (см. решение двойственной задачи) и используется для решения задач линейного программирования, свободные члены которых b i могут принимать любые значения, а система ограничений задана неравенствами смысла «≤», «≥» или равенством «=».Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для решения задач линейного программирования P-методом в следующих формах записи: базовой форме записи симплекс-метода, в виде симплексной таблицы, модифицированным симплекс-методом.
Инструкция для решения задач двойственным симплекс-методом . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения двойственным симплекс-методом).
При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте.Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП
Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.
| Объем товара Х (в партиях) | Доход G(X) | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 28 | 30 | 32 |
| 2 | 41 | 42 | 45 |
| 3 | 50 | 55 | 48 |
| 4 | 62 | 64 | 60 |
| 5 | 76 | 76 | 72 |
В P-методе оптимальный план получается в результате движения по псевдопланам. Псевдоплан - план, в котором условия оптимальности удовлетворяются, а среди значений базисных переменных x i имеются отрицательные числа. Алгоритм двойственного симплекс-метода включает следующие этапы:
- Составление псевдоплана . Систему ограничений исходной задачи приводят к системе неравенств смысла «≤».
- Проверка плана на оптимальность . Если в полученном опорном плане не выполняется условие оптимальности, то задача решается симплексным методом .
- Выбор ведущих строки и столбца . Среди отрицательных значений базисных переменных выбираются наибольшие по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является ведущей.
- Расчет нового опорного плана . Новый план получается в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса . Далее переход к этапу 2.
Пример
. Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А1 единиц, А2 единиц, А3 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах.
Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны? Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование P–метода.
Известно, что содержание n питательных веществ A, B и С в рационе должно быть не менее m1, m2, m3 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продукта приведено в таблице. определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.
Задание
: Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс-метода.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x 1 + 2x 2 + x 3 при следующих условиях-ограничений.
- x 1 - x 2 ≤-10
2x 1 + x 2 - x 3 ≤8
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . Во втором неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
-1x 1 -1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -10
2x 1 + 1x 2 -1x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 8
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
| A = |
|
x 4 , x 5 ,
Полагая, что свободные переменные равны нулю, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-10,8)
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
Итерация №1
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
Ведущей будет первая строка, а переменную x 4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x 2 необходимо ввести в базис.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
| θ | 0 | -4: (-1) = 4 | -2: (-1) = 2 | - | - | - |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса .
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| -10: -1 | -1: -1 | -1: -1 | 0: -1 | 1: -1 | 0: -1 |
| 8-(-10 1):-1 | 2-(-1 1):-1 | 1-(-1 1):-1 | -1-(0 1):-1 | 0-(1 1):-1 | 1-(0 1):-1 |
| 0-(-10 -2):-1 | -4-(-1 -2):-1 | -2-(-1 -2):-1 | -1-(0 -2):-1 | 0-(1 -2):-1 | 0-(0 -2):-1 |
Итерация №2
1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет вторая строка, а переменную x 5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует третьему столбцу, т.е. переменную x 3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1).
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
| θ | 0 | - | - | -1: (-1) = 1 | - | - |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| 10-(-2 0):-1 | 1-(1 0):-1 | 1-(0 0):-1 | 0-(-1 0):-1 | -1-(1 0):-1 | 0-(1 0):-1 |
| -2: -1 | 1: -1 | 0: -1 | -1: -1 | 1: -1 | 1: -1 |
| 20-(-2 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(0 -1):-1 | -1-(-1 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(1 -1):-1 |
В базисном столбце все элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №3
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
Оптимальный план можно записать так: x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 2
F(X) = 2 10 + 1 2 = 22
Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума ) линейного программирования называется . Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода .
Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи , которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.
Исходные данные задачи на симплекс-метод
Предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3-х станках.
Нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:
Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:
Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:
Цель производственной задачи
Составить такой план производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.
Решение задачи табличным симплекс-методом
(1) Обозначим X1, X2, X3, X4 планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: (X1, X2, X3, X4 )
(2) Запишем ограничения плана в виде системы уравнений:
(3) Тогда целевая прибыль:
То есть прибыль от выполнения производственного плана должна быть максимальной.
(4) Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X5, X6, X7 ).
(5) Примем следующий опорный план :
X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80
(6) Занесем данные в симплекс-таблицу :
В последнюю строку заносим коэффициенты при целевой функции и само ее значение с обратным знаком;
(7) Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю ) отрицательное число.
Вычислим b = Н / Элементы_выбранного_столбца
Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее .
Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент. Меняем базис на переменную соответствующую разрешающему элементу (X5 на X1 ).
- Сам разрешающий элемент обращается в 1.
- Для элементов разрешающей строки – a ij (*) = a ij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные ).
- Для элементов разрешающего столбца – они просто обнуляются.
- Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника.
a ij (*) = a ij – (A * B / РЭ)
Как видите, мы берем текущую пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A * B ) делим на разрешающий элемент (РЭ ). И вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a ij ) то, что получилось. Получаем новое значение - a ij (*) .
(9) Вновь проверяем последнюю строку (c ) на наличие отрицательных чисел . Если их нет – оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи. Если есть – план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.
Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию вычислений.
(10) Так как в последней строке нет отрицательных элементов, это означает, что нами найден оптимальный план производства! А именно: выпускать мы будем те изделия, которые перешли в колонку «Базис» - X1 и X2. Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C ). Осталось перемножить найденные объемы выпуска изделий 1 и 2 с прибылью на 1 шт., получим итоговую (максимальную! ) прибыль при данном плане производства.
ОТВЕТ:
X1 = 32 шт., X2 = 20 шт., X3 = 0 шт., X4 = 0 шт.
P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 руб.
Галяутдинов Р.Р.
© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на
| - | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | = | 1 | ||||||||||
| x 1 | +3 | x 2 | + | S 2 | = | 15 | |||||||||||
| - | 2 | x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 4 |
| - | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | + | R 1 | = | 1 | |||||||||||
| x 1 | +3 | x 2 | + | S 2 | = | 15 | ||||||||||||||
| - | 2 | x 1 | + | x 2 | + | S 3 | = | 4 |
| x 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0 S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1 |
=> W = 1 |
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | R 1 | св. член | Θ |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1: 1 = 1 |
| 1 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 15 | 15: 3 = 5 |
| -2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | 4: 1 = 4 |
| 1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | W - 1 | |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 4 | 0 | 3 | 1 | 0 | -3 | 12 | |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | -1 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | W - 0 |
| - | x 1 | + | x 2 | - | S 1 | = | 1 | ||||||||||
| 4 | x 1 | + | 3 | S 1 | + | S 2 | = | 12 | |||||||||
| - | x 1 | + | S 1 | + | S 3 | = | 3 |
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | св. член | Θ |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| 4 | 0 | 3 | 1 | 0 | 12 | 12: 4 = 3 |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F - 1 | |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F - 1 | |
| 0 | 1 | -1/4 | 1/4 | 0 | 4 | |
| 1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
| 0 | 0 | 7/4 | 1/4 | 1 | 6 | |
| 0 | 0 | -2 | -1 | 0 | F - 13 |
| S 1 = 0 S 2 = 0 x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6 |
=> F - 13 = 0 => F = 13 |
