Что определяет оценку адекватности модели. Построение математических моделей элементов ХТС. Расчет суммарной погрешности модели

Этапы построения математической модели

Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования , задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов. На рисунке 3 представлена общая схема построения математической модели.

Рис. 3 Этапы построения математической модели

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели , что является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем , который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются следующие виды контроля (проверки): размерностей; порядков; характера зависимостей; экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости; физического смысла; устойчивости модели.

Например, контрольразмерностей позволяет - приравнивать и складывать только величины одинаковой размерности, порядков величин упрощает моделирование, т.е. определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются, проверка устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.

Адекватность - степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Любая модель дает приближенное описание процесса функционирования объекта или системы. Поэтому необходима специальная процедура доказательства достоверности (адекватности) построенной модели. Такая оценка производиться методами математической статистики.

Именно сложность доказательства адекватности предлагаемой модели принято считать важнейшим недостатком метода моделирования.

Оценка адекватности разработанной модели реально существующей системе производится сравнением измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

– по средним значениям откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Названные способы оценки достаточно близки между собой, по сути, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной среднему значению отклика реальной системы.

В результате опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) . Выполнив экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной.

Однако статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным. В этом случае в качестве эталонного объекта принимается концептуальная модель проектируемой системы и оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель.

При проверке адекватности модели как существующей, так и проектируемой системы реально может быть использовано лишь ограниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды). В связи с этим для обоснования достоверности получаемых результатов моделирования большое значение имеет проверка устойчивости модели.

Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при исследовании эффективности системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель. Устойчивость результатов моделирования может быть также оценена методами математической статистики.

Поскольку модель является выражением конечного ряда и только важнейших для конкретного исследования аспектов сущности, то она не может быть абсолютно идентичной моделируемому объекту. Кроме этого, реальный объект бесконечен для познания. Поэтому нет смысла стремиться к бесконечной точности при построении модели. Для выяснения необходимой степени адекватности обычно строят ряд моделей, начиная с грубых, простых моделей и двигаясь ко все более сложным и точным. Как только затраты на построение очередной модели начинают превышать планируемую отдачу от модели, то уточнение модели прекращают. Первоначальные шаги производятся в каком-либо существующем универсальном моделирующем пакете. После одобрения модели под неё пишется специализированный пакет. Необходимость в этом возникает в случае, если функционирование модели в универсальной среде моделирования не удовлетворяет требованиям быстродействия (или каким-то другим).

В задачи данного курса входит изучение приёмов и способов, необходимых для формализации, изучения и интерпретации систем.

Модель строится, в частности, для того, чтобы получить дополнительную информацию об объекте моделирования. При этом подразумевается, что информация, полученная при исследовании модели, может быть с той или иной степенью достоверности перенесена на объект . Необходимое условие для перехода от исследования объекта к исследованию модели и дальнейшего перенесения результатов на объект исследования - адекватность модели объекту.

Адекватность предполагает воспроизведение моделью с необходимой полнотой всех характеристик объекта, существенных для цели моделирования.

Так как всякая модель имеет характер проекции, нельзя говорить об абсолютной адекватности, при которой модель по всем параметрам соответствует оригиналу, тем более когда строятся модели природных или социальных явлений и процессов (неконструктивных объектов). В этом случае оценка степени сходства может опираться в основном на оценку отличия от оригинала. При этом оценивание отличия наталкивается естественным образом на большие трудности, так как обычно невозможно использовать для сравнения объект во всей его действительной целостности. Поэтому говорить об адекватности в позитивном смысле слова можно только по отношению к конструктивным объектам.

Адекватность достаточно просто установить в случае конструктивных (в частности, информационных) объектов. Для этого необходимо сформулировать цель моделирования и уточнить, какой из аспектов изучаемого объекта (внешний вид, структура или поведение) представляет в данном случае интерес.

Пример .

Рассмотрим маятник, состоящий из тяжелого груза, подвешенного на конце нити. Известно, что моделью колебаний этого маятника может служить уравнение х = A sin(w ∙ t ),

где х - отклонение от положения равновесия. Адекватна ли эта модель поведению маятника?

Если посмотреть на колебания реального маятника, то можно заметить, что со временем размах колебаний становится все меньше и в конце концов маятник останавливается. Уравнение х = A sin(w ∙ t ) не предсказывает такого поведения.

Тем не менее, если ввести следующие ограничения:

Отклонение х от положения равновесия мало (малые колебания);

Время t наблюдения за маятником мало,

то приведённое уравнение достаточно хорошо будет описывать поведение маятника, в чём можно убедиться с помощью непосредственного эксперимента.

Можно сказать, что при соблюдении вышеназванных условий уравнение х = A sin(w ∙ t ) адекватно описывает движение реального маятника.

Модель, удовлетворяющая вышеперечисленным требованиям по составу характеристик и параметров и точности воспроизведения характеристик по всей области определения, называется адекватной системе.

Существенное влияние на адекватность оказывает область определения модели. Практически любая модель обеспечивает высокую точность воспроизведения характеристик в пределах малой окрестности точки . Чем шире область определения модели, тем меньше шансов, что некоторая модель окажется адекватной системе.

Адекватность моделей определялась с помощью критерия Фишера F.

Адекватность модели -- совпадение свойств (функций/параметров/характеристик и т.п.) модели и соответствующих свойств моделируемого объекта. Адекватностью называется совпадение модели моделируемой системы в отношении цели моделирования.

Оценка адекватности модели - проверка соответствия модели реальной системе. Оценка адекватности модели реальному объекту оценивается по близости результатов расчетов экспериментальным данным.

Два основных подхода к оценке адекватности:

1) по средним значениям откликов модели и системы

Проверяется гипотеза о близости средних значений каждой n-й компоненты откликов модели Yn известным средним значениям n-й компоненты откликов реальной систем.

2) по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов систем

Сравнение дисперсии проводят с помощью критерия F (проверяют гипотезы о согласованности), с помощью критерия согласия?2 (при больших выборках, п>100), критерия Колмогорова- Смирнова (при малых выборках, известны средняя и дисперсия совокупности), Кохрена и др.

Критерием Фишера (F-критерием, ц*-критерием) -- называют любой статистический критерий, тестовая статистика которого при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение).

Статистика теста так или иначе сводится к отношению выборочных дисперсий (сумм квадратов, деленных на "степени свободы"). Чтобы статистика имела распределение Фишера необходимо, чтобы числитель и знаменатель были независимыми случайными величинами и соответствующие суммы квадратов имели распределение Хи-квадрат. Для этого требуется, чтобы данные имели нормальное распределение. Кроме того, предполагается, что дисперсия случайных величин, квадраты которых суммируются, одинакова.

Тест проводится путем сравнения значения статистики с критическим значением соответствующего распределения Фишера при заданном уровне значимости. Известно, что если, то. Кроме того, квантили распределения Фишера обладают свойством. Поэтому обычно на практике в числителе участвует потенциально большая величина, в знаменателе -- меньшая и сравнение осуществляется с "правой" квантилью распределения. Тем не менее тест может быть и двусторонним и односторонним. В первом случае при уровне значимости используется квантиль, а при одностороннем тесте .

Более удобный способ проверки гипотез -- с помощью p-значения -- вероятностью того, что случайная величина с данным распределением Фишера превысит данное значение статистики. Если (для двустороннего теста --)) меньше уровня значимости, то нулевая гипотеза отвергается, в противном случае принимается.

Расчетный критерий Фишера:

Расчетное значение критерия Фишера F N сравнивается с табличным F Т.

Если расчетное значение критерия меньше критического то модель адекватна.

Таблица 6 - проверка адекватности модели

Анализ результатов эксперимента показал, что Fн>Fк, следовательно, модель не адекватна. Необходимо провести повторный эксперимент.

В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ МОДЕЛЬ БУДЕТ ИМЕТЬ ВИД:

Y=2,65-0,4*V+0,359*t-0,047*S-0,102*V*t+0,042*V*S+0,052*t*S 0,199V 2 +0,078*t 2 -0,007*S 2

В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (т. е. в ситуациях, когда реальная система вообще не существует). Тем не менее, во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования - использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При этом следует заметить, что при проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы - они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Итак, каким же образом можно оценить адекватность разработанной модели реально существующей системе?

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

– по средним значениям откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин и (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы является -статистика (распределение Стьюдента). Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением , взятым из справочной таблицы. Если выполняется неравенство , то гипотеза принимается. Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным. Единственный способ преодолеть это препятствие заключается в том, чтобы принять в качестве эталонного объекта концептуальную модель проектируемой системы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель.

Какой бы сложной и полной не была модель, она тем не менее является приближенным отображение реального объекта и отражает его при определенных принятых допущениях. Однако до тех пор пока не доказана адекватность модели реальной обстановке, нельзя с уверенностью утверждать, что с ее помощью получается те результаты, которые действительно характеризуют функционирование исследуемого объекта. Оценка адекватности и точности математической модели любого типа, в том числе и имитационной, является важнейшей задачей моделирования, так как любые исследования на неадекватной модели теряют смысл.

С ростом адекватности и точности модели возрастают как ее стоимость, так и ценность для исследования, в связи с чем приходится решать вопрос о компромиссе между стоимостью модели и последствиями ошибочных решений из-за ее неадекватности исследуемому процессу. Поэтому на практике построение модели представляет собой итеративный процесс усовершенствования системы моделей, а следовательно, и исследования объекта до тех пор, пока это считается разумным. Поэтому и оценка адекватности и точности модели представляет собой непрерывный процесс, начинающийся с началом исследования. Правильность построения модели может быть проверена только на практике за счет повторения цикла «построение модели – проверка модели».

Следует отметить, что понятие адекватности модели не имеет качественного измерения: модель либо адекватна явлении., либо не адекватна (естественно, сточки зрения выносящего суждение – заказчика). Говорить о количественной оценке точности перехода от концептуальной модели к математической. Правомерно говорить лишь о количественной оценке точности реализации на ЭВМ заданной и адекватной объекту математической модели. При этом, естественно, предполагается, что программа, реализующая вычисления по математической модели, не содержит ошибок, исходные данные введены в машине правильно, а ЭВМ в процессе счета не имела сбоев в работе. Модель является достоверной, если ее концептуальная модель адекватна исследуемому процессу, математическая модель адекватна концептуальной, а точность реализации математической модели на ЭВМ соответствует заданной, т.е. погрешности расчета не превышают допустимых

Основные ошибки при формировании концептуальной модели следующие:

Неправильный выбор критериев или ограничений;

Введение в концептуальную модель несущественных факторов или отсутствие в ней ряда существенных факторов;

Неучет ряда условий функционирования объекта;

Неправильный выбор гипотез, положенных в основу структуры модели (например, по составу элементов объекта, связей между ними в процессе функционирования и т.п.).

Проверка адекватности концептуальной модели является достаточно сложной задачей, так как оценка принципов, положенных в основу модели, является субъективной. Лучшим методом проверки адекватности концептуальной модели является рассмотрение модели специалистами, не участвовавшими в ее разработке (экспертиза модели), так как они могут более объективно рассмотреть задачу и заметить слабые стороны модели, не замеченные авторами. Окончательное решение об адекватности концептуальной модели принимается только заказчиком, который при одобрении концепции одобряет тем самым все положенные в основу модели допущения.

Основные принципиальные ошибки при переходе от концептуальной модели к математической следующие:

структура математической модели не соответствует структуре концептуальной модели;

модель включает неверные математические соотношения.

По окончании разработки математической модели до начала программирования необходимая проверка адекватности должна дать ответ на вопрос, насколько используемые уравнения или моделирующий алгоритм отражает концептуальную модель. Если уравнения получены теоретическим путем, могут быть проведены вычисления в нескольких точках с целью определения приемлемости результатов. Дополнительная проверка уравнений состоит в анализе размерностей. Необходимо убедиться, что все единицы измерения применены в соответствии с физическим смыслом, масштабирование и согласование размерностей в уравнениях проведено правильно. Кроме того, обязательными являются проверка результатов в условиях, когда факторы модели принимают предельные значения.

При переходе от концептуальной модели к математической для формализации описания явлений используются линеаризация, аппроксимация, интерполяция, причем каждый метод вносит определенные погрешности. Если уравнения выведены на основании анализа эмпирических данных, необходимо провести выборочную проверку согласия с опытными данными. При этом могут быть использованы статистические выборки для оценки средних значений и дисперсий, дисперсионный, регрессионный, факторный и спектральный анализ, автокорреляция, метод проверки с помощью критерия « -квадрат» и непараметрические проверки. Так как каждый из этих статистических методов основан на некоторых допущениях, то при их использовании возникают вопросы, связанные с оценкой их адекватности.

Решение об адекватности математической модели по отношению к концептуальной также принимается только заказчиком, который тем самым разрешает исследователю перейти к этапу реализации математической модели на ЭВМ.

Оценка точности математической модели представляет одну из наименее исследованных методологических проблем в теории моделирования. Рассмотрим, например, измерение погрешности при изготовлении детали. Если x и – размер детали на чертеже (идеальный размер), а х Ф – фактический размер изготовленной детали, то абсолютная погрешность изготовления рассчитывается по формуле

. (4.7)

Заметим, что определить погрешность можно после изготовления детали.

Заказчика интересует, насколько результаты моделирования могут отличаться от того, что он получает на практике, реализуя полученные на модели рекомендации. При этом погрешность модели для него характеризуется выражением, аналогичным (4.7):

, (4.8)

где x Ф – фактический результат, полученный в производстве после внедрения рекомендаций модели; x М – «теоретический» результат, т.е. полученный при расчетах по математической модели.

Однако оценка (4.8) может быть получена заказчиком только после того, как рекомендации модели внедрены. А если модель неправильна или велика ошибка? Естественно, что заказчик хотел бы до внедрения рекомендаций, полученных на модели, убедиться в том, что им можно доверять, что они характеризуются приемлемой для него погрешностью, т.е. определить величину до реализации результатов моделирования.

Но тогда , где x И – результат. Полученный на «идеальной» математической модели, т.е. модели, не имеющей погрешности. В качестве «идеальной» математической модели может быть принята адекватная концептуальной и утвержденная заказчиком математическая модель исследуемого процесса до ее реализации на ЭВМ.

Обычно точность реализации математической модели на ЭВМ рассматривают через совокупность различного рода погрешностей.

Если классифицировать погрешности реализации «идеальной» модели на ЭВМ с точки зрения причин их возникновения (в качестве наиболее общего случая рассмотрим имитационное статистическое моделирование), можно выделить четыре их вида:

1) погрешности моделирования, являющиеся результатом незнания или неточного задания исходных даны;

2) погрешности моделирования, возникающие при упрощении исходной математической модели;

3) погрешности расчета выходных характеристик из-за дискретной реализации математической модели на используемой цифровой вычислительной машине, в том числе ошибки округления;

4) погрешности моделирования, обусловленные ограниченностью статистики при выборочной обработке статистической информации или ограниченным числом случайных испытаний модели на ЭВМ (имитации).

Как правило, погрешности моделирования представляют собой сумму систематических (неслучайных) и случайных ошибок. Рассмотрим отдельные группы погрешностей.