모델의 적절성에 대한 평가를 결정하는 것은 무엇입니까? CTS 요소의 수학적 모델 구축. 전체 모델 오류 계산

수학적 모델을 구성하는 단계

첫 번째 단계수학적 모델링은 문제 설명, 연구 대상 및 목표 정의, 사물을 연구하고 관리하기 위한 기준(기호)을 설정합니다. 문제의 부정확하거나 불완전한 공식화는 모든 후속 단계의 결과를 무효화할 수 있습니다. 그림 3은 수학적 모델을 구성하는 일반적인 방식을 보여줍니다.

쌀. 수학적 모델 구축의 3단계

두 번째 단계모델링은 수학적 모델 유형 선택, 그건 가장 중요한 포인트, 이는 전체 연구의 방향을 결정합니다. 일반적으로 여러 모델이 순차적으로 구축됩니다. 연구 결과를 현실과 비교하면 최선의 결과를 결정할 수 있습니다. 수학적 모델 유형을 선택하는 단계에서 검색 실험의 데이터 분석을 사용하여 선형성 또는 비선형성, 역동성 또는 정적성, 정상성 또는 비정상성, 객체 또는 프로세스의 결정성 정도가 설정됩니다. 연구중.

물체의 수학적 모델을 선택하는 과정은 그것으로 끝납니다 예비 통제이는 모델 탐색을 위한 첫 번째 단계이기도 합니다. 이 경우 다음 유형의 제어(검사)가 수행됩니다. 명령; 종속성의 성격; 극단적인 상황; 경계조건; 수학적 고립; 물리적 의미; 모델의 안정성.

예를 들어, 제어 치수동일한 차원의 값만 동일시하고 추가할 수 있으며, 규모의 순서수량은 모델링을 단순화합니다. 즉 추가되는 수량의 순서가 결정되고 명백히 중요하지 않은 용어는 폐기됩니다. 모델 안정성실제 객체에 대해 사용 가능한 데이터 프레임워크 내에서 초기 데이터를 변경하는 것이 솔루션에 큰 변화를 가져오지 않는지 확인하는 것으로 구성됩니다.

적절- 모델이 설명하기 위해 만들어진 실제 현상이나 대상에 대한 모델의 일치 정도. 모든 모델은 객체나 시스템의 기능 프로세스에 대한 대략적인 설명을 제공합니다. 따라서 구축된 모델의 신뢰성(적정성)을 입증하기 위해서는 특별한 절차가 필요합니다. 이러한 평가는 수학적 통계 방법을 사용하여 이루어집니다.

모델링 방법의 가장 중요한 단점으로 꼽히는 것은 제안된 모델의 타당성을 입증하기 어렵다는 점이다.

개발된 모델의 타당성을 평가하는 것이 현실적입니다. 기존 시스템실제 시스템의 측정과 모델의 실험 결과를 비교하여 수행할 수 있습니다. 다른 방법들. 가장 일반적인 것들은 다음과 같습니다:

– 모델과 시스템의 평균 응답 값을 기반으로 합니다.

– 시스템 응답의 평균값과 모델 응답의 편차 편차에 의해;

- 시스템 응답으로부터 모델 응답의 상대적 편차의 최대값.

명명된 평가 방법은 실제로 서로 매우 유사하므로 첫 번째 평가 방법만 고려하도록 하겠습니다. 이 방법은 관찰된 변수의 평균값이 실제 시스템의 평균 응답값에 가깝다는 가설을 테스트합니다.

실제 시스템에 대한 실험 결과, 일련의 값(샘플)이 얻어집니다. 모델에 대한 실험을 수행함으로써 관찰된 변수의 많은 값도 얻어집니다.

그런 다음 모델과 시스템 응답의 수학적 기대치와 분산에 대한 추정치를 계산한 후 수량의 평균값과 (통계적 의미에서) 근접성에 대한 가설을 제시합니다. 가설 검정의 기초는 -통계(학생 분포)입니다. 테스트 결과로부터 계산된 그 값은 참조 테이블에서 가져온 임계값과 비교됩니다. 부등식이 만족되면 가설이 채택됩니다.

그러나 통계적 방법은 기존 시스템에 대한 모델의 적합성이 평가되는 경우에만 적용 가능합니다. 당연히 설계된 시스템에서 측정을 수행하는 것은 불가능합니다. 이 경우 설계된 시스템의 개념 모델을 참조 객체로 삼고, 소프트웨어로 구현된 모델의 적합성을 평가하는 것은 개념 모델을 얼마나 정확하게 반영하는지 확인하는 것으로 구성됩니다.

기존 시스템과 설계된 시스템 모델의 적합성을 확인할 때 전체 모델 중 제한된 부분만 확인합니다. 가능한 값입력 매개변수(워크로드 및 외부 환경) 이와 관련하여 얻은 모델링 결과의 신뢰성을 정당화하기 위해 큰 중요성모델 안정성 검사가 있습니다.

모델 안정성- 이는 가능한 전체 작업 범위에 걸쳐 시스템 효율성을 연구할 때뿐 아니라 시스템 구성을 변경할 때 적절성을 유지하는 능력입니다.

모델의 구조가 시스템의 구조에 가까울수록, 세부 정도가 높을수록 모델의 안정성이 높아집니다. 모델링 결과의 안정성은 수학적 통계 방법을 통해 평가할 수도 있습니다.

모델은 유한 계열의 표현이고 특정 연구에 대한 엔터티의 가장 중요한 측면이므로 모델링된 개체와 절대적으로 동일할 수는 없습니다. 게다가 실제 대상은 지식에 있어서 무한하다. 따라서 모델을 구축할 때 무한한 정확성을 추구하는 것은 의미가 없습니다. 필요한 적합성을 결정하기 위해 일반적으로 대략적이고 단순한 모델부터 시작하여 점점 더 복잡하고 정확한 모델로 이동하는 일련의 모델이 구축됩니다. 다음 모델을 구축하는 데 드는 비용이 모델의 계획 수익을 초과하기 시작하면 모델 개선이 중단됩니다. 초기 단계는 기존 범용 모델링 패키지에서 수행됩니다. 모델 승인 후 해당 모델에 대한 전문 패키지가 작성됩니다. 범용 모델링 환경에서 모델의 기능이 성능 요구 사항(또는 기타 요구 사항)을 충족하지 못하는 경우 이에 대한 필요성이 발생합니다.

이 과정의 목표는 시스템을 공식화하고, 연구하고, 해석하는 데 필요한 기술과 방법을 연구하는 것입니다.

특히 모델은 모델링 객체에 대한 추가 정보를 얻기 위해 구축됩니다. 이는 다음을 의미합니다. 모델을 연구하는 동안 얻은 정보는 다양한 수준의 신뢰성으로 객체에 전달될 수 있습니다.. 객체 연구에서 모델 연구로 전환하고 결과를 연구 객체로 전달하는 데 필요한 조건은 객체에 대한 모델의 적절성입니다.

적절 모델링 목적에 필수적인 물체의 모든 특성을 필요한 완전성으로 재현하는 모델을 포함합니다.

모든 모델은 투영의 성격을 갖고 있기 때문에 모델이 어느 정도 타당하다고 말할 수는 없습니다. 모두에매개변수는 원본과 일치하며, 특히 자연적 또는 사회적 현상과 프로세스(비구조적 대상)의 모델이 구축되는 경우 더욱 그렇습니다. 이 경우 유사도 평가는 주로 다음 사항에 기초할 수 있습니다. 원작과의 차이점 평가.이 경우 차이를 평가하는 것은 당연히 큰 어려움에 직면합니다. 왜냐하면 비교를 위해 개체를 실제 무결성 전체로 사용하는 것이 일반적으로 불가능하기 때문입니다. 그러므로 우리는 건설적인 대상과 관련해서만 단어의 긍정적인 의미에서 적절성에 대해 이야기할 수 있습니다.

건설적인(특히 정보) 객체의 경우 적절성은 확립하기가 매우 간단합니다. 이를 위해서는 모델링의 목적을 공식화하고 연구 대상 객체의 어떤 측면(외관, 구조 또는 동작)이 표현되는지 명확히 할 필요가 있습니다. 이 경우관심.

예 .

끈 끝에 매달린 무거운 추로 구성된 진자를 생각해 보세요. 이 진자의 진동 모델은 다음 방정식이 될 수 있는 것으로 알려져 있습니다. 엑스= ㅏ죄( 승∙ 티),

어디 엑스- 평형 위치로부터의 이탈. 이 모델이 진자의 거동에 적합한가?

실제 진자의 진동을 살펴보면 시간이 지남에 따라 진동 범위가 점점 작아지고 결국 진자가 멈추는 것을 알 수 있습니다. 방정식 엑스= ㅏ죄( 승∙ 티)는 그러한 행동을 예측하지 않습니다.

그러나 다음과 같은 제한 사항을 도입하는 경우:

편차 엑스평형 위치에서 작은 (작은 변동);

시간 티 진자를 관찰하는 것만으로는 충분하지 않습니다.

그러면 위의 방정식은 진자의 거동을 아주 잘 설명할 것이며, 이는 직접 실험을 통해 확인할 수 있습니다.

위의 조건이 만족된다면 방정식은 다음과 같다고 할 수 있다. 엑스= ㅏ죄( 승∙ 티) 실제 진자의 운동을 적절하게 설명합니다.

전체 정의 영역에 걸쳐 특성 및 매개변수의 구성과 특성 재현의 정확성에 대한 위의 요구 사항을 충족하는 모델을 시스템에 적합하다고 합니다.

모델 정의 영역은 적절성에 중요한 영향을 미칩니다. 거의 모든 모델은 한 지점의 작은 이웃 내에서 특성 재현의 높은 정확도를 제공합니다. 모델 정의 범위가 넓을수록 특정 모델이 시스템에 적합할 가능성이 줄어듭니다.

모델의 적절성은 Fisher의 F 테스트를 사용하여 결정되었습니다.

모델의 적합성은 모델의 속성(기능/매개변수/특성 등)과 모델링된 객체의 해당 속성이 일치하는 것입니다. 적절성은 시뮬레이션의 목적과 관련하여 시뮬레이션된 시스템 모델의 일치입니다.

모델의 적절성 평가 - 모델과 실제 시스템의 일치성을 확인합니다. 실제 물체에 대한 모델의 적합성은 계산 결과가 실험 데이터에 얼마나 가까운지에 따라 평가됩니다.

적절성을 평가하는 두 가지 주요 접근 방식:

1) 모델과 시스템의 평균 응답값을 기준으로

각각의 평균값의 근접성에 대한 가설 n번째 구성 요소모델 Yn의 평균 응답 n번째 값실제 시스템의 응답 구성 요소.

2) 시스템 응답의 평균값과 모델 응답의 편차 분산에 따라

분산 비교는 F 검정(일관성에 대한 가설 검정), 적합도 검정(대형 표본의 경우 n>100), Kolmogorov-Smirnov 검정(소형 표본의 경우 평균 및 인구의 분산이 알려져 있음), Cochran et al.

Fisher의 검정(F-기준, μ*-기준)은 귀무가설이 충족될 때 검정 통계량이 Fisher 분포(F-분포)를 갖는 통계 검정입니다.

테스트 통계는 어떤 방식으로든 표본 분산의 비율(제곱합을 "자유도"로 나눈 값)로 귀결됩니다. 통계가 피셔 분포를 가지려면 분자와 분모가 독립 확률 변수여야 하며 해당 제곱합이 카이제곱 분포를 가져야 합니다. 이를 위해서는 데이터가 정규 분포를 거쳐야 합니다. 또한, 제곱합을 합한 확률변수의 분산은 동일하다고 가정한다.

검정은 주어진 유의 수준에서 통계값을 해당 Fisher 분포의 임계값과 비교하여 수행됩니다. 그렇다면, 그렇다면 알려져 있습니다. 또한 Fisher 분포의 분위수에는 속성이 있습니다. 따라서 실제로는 일반적으로 잠재적으로 더 큰 값이 분자에 포함되고, 더 작은 값이 분모에 포함되며, 분포의 "올바른" 분위수와 비교가 이루어집니다. 그러나 검사는 양측성 또는 단측성일 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 분위수를 유의 수준으로 사용하고 단측 검정에서는 .

더 편리한 방법가설 검정 - p-값 사용 - 주어진 Fisher 분포를 갖는 무작위 변수가 다음을 초과할 확률 주어진 값통계. (양측 검정의 경우 --))이 유의 수준보다 작으면 귀무 가설이 기각되고, 그렇지 않으면 채택됩니다.

피셔의 기준:

피셔 기준의 추정값 에프 N테이블과 비교해서 에프 티.

계산된 기준 값이 임계값보다 작으면 모델이 적합한 것입니다.

표 6 - 모델의 적합성 확인

실험 결과를 분석한 결과 Fн>Fк이므로 모델이 적절하지 않은 것으로 나타났습니다. 실험을 반복해야 합니다.

일반적으로 모델은 다음과 같습니다:

Y=2.65-0.4*V+0.359*t-0.047*S-0.102*V*t+0.042*V*S+0.052*t*S 0.199V 2 +0.078*t 2 -0.007*S 2

일반적으로 아래에는 적절설명하기 위해 만들어진 실제 현상이나 대상에 대한 모델의 일치 정도를 이해합니다. 동시에 생성된 모델은 일반적으로 이 개체 속성의 특정 하위 집합을 연구하는 데 중점을 둡니다. 따라서 모델의 적합성은 실제 대상에 대한 것이 아니라 연구 목표에 대한 일치 정도에 따라 결정된다고 가정할 수 있습니다. 이 진술은 설계된 시스템의 모델(즉, 실제 시스템이 전혀 존재하지 않는 상황)과 관련하여 최대한 적용됩니다. 그러나 많은 경우 개발된 모델의 적절성에 대한 공식적인 확인(또는 타당성)을 갖는 것이 유용합니다. 그러한 정당화의 가장 일반적인 방법 중 하나는 수학적 통계 방법을 사용하는 것입니다. 이러한 방법의 핵심은 특정 통계 기준을 기반으로 가설(이 경우 모델의 적절성)을 테스트하는 것입니다. 수학적 통계 방법을 사용하여 가설을 테스트할 때 통계 기준은 단일 가설을 증명할 수 없으며 반박이 없음만을 나타낼 수 있다는 점을 명심해야 합니다.

그렇다면 개발된 모델이 실제 시스템에 대한 적합성을 어떻게 평가할 수 있습니까?

평가 절차는 실제 시스템의 측정값과 모델에 대한 실험 결과의 비교를 기반으로 하며 다양한 방식으로 수행될 수 있습니다. 가장 일반적인 것들은 다음과 같습니다:

– 모델과 시스템의 평균 응답 값을 기반으로 합니다.

– 시스템 응답의 평균값과 모델 응답의 편차 편차에 의해;

- 시스템 응답으로부터 모델 응답의 상대적 편차의 최대값.

명명된 평가 방법은 실제로 서로 매우 유사하므로 첫 번째 평가 방법만 고려하도록 하겠습니다. 이 방법을 사용하면 관찰된 변수의 평균값이 실제 시스템의 평균 응답값에 가깝다는 가설을 테스트합니다.

실제 시스템에 대한 실험 결과, 일련의 값(샘플)이 얻어집니다. 모델에 대한 실험을 수행함으로써 관찰된 변수의 많은 값도 얻어집니다.

그런 다음 모델과 시스템 응답의 수학적 기대치와 분산에 대한 추정치를 계산한 후 수량의 평균값과 (통계적 의미에서) 근접성에 대한 가설을 제시합니다. 가설 검정의 기초는 -통계(학생 분포)입니다. 테스트 결과에서 계산된 해당 값은 조회 테이블에서 가져온 임계값과 비교됩니다. 부등식이 만족되면 가설이 채택됩니다. 통계적 방법은 기존 시스템에 대한 모델의 적절성이 평가되는 경우에만 적용 가능하다는 점을 다시 한 번 강조해야 합니다. 당연히 설계된 시스템에서 측정을 수행하는 것은 불가능합니다. 유일한 방법이러한 장애물을 극복하기 위해서는 설계 중인 시스템의 개념 모델을 참조 객체로 취하는 것이 필요합니다. 그런 다음 소프트웨어로 구현된 모델의 적절성을 평가하는 것은 개념적 모델을 얼마나 정확하게 반영하는지 확인하는 것으로 구성됩니다.

모델이 아무리 복잡하고 완전하더라도 이는 실제 물체를 대략적으로 표현한 것이며 특정 허용된 가정에 따라 이를 반영합니다. 그러나 실제 상황에 대한 모델의 적합성이 입증될 때까지는 연구 대상 개체의 기능을 실제로 특성화하는 결과를 생성한다고 자신있게 말할 수 없습니다. 시뮬레이션 모델을 포함하여 모든 유형의 수학적 모델의 적합성과 정확성을 평가하는 것은 모델링의 가장 중요한 작업입니다. 부적절한 모델에 대한 연구는 의미가 없기 때문입니다.

모델의 적합성과 정확성이 높아짐에 따라 비용과 연구 가치가 모두 증가하므로 모델의 비용과 모델의 부적절로 인한 잘못된 결정의 결과 사이의 절충 문제를 해결해야 합니다. 연구중인 과정. 따라서 실제로 모델 구축은 모델 시스템을 개선하는 반복적인 프로세스이므로 이것이 합리적이라고 간주되는 한 객체에 대한 연구입니다. 따라서 모델의 적절성과 정확성을 평가하는 것은 연구 시작부터 시작되는 지속적인 프로세스입니다. 모델 구축의 정확성은 "모델 구축 - 모델 확인"주기를 반복함으로써 실제로 확인할 수 있습니다.

모델 적절성 개념에는 질적 차원이 없다는 점에 유의해야 합니다. 모델은 현상에 적합하거나 적절하지 않습니다(당연히 판단을 내리는 사람, 즉 고객의 관점에서 볼 때). 개념적 모델에서 수학적 모델로의 전환 정확성에 대한 정량적 평가에 대해 이야기해 보세요. 객체에 적합한 주어진 수학적 모델의 컴퓨터 구현 정확성에 대한 정량적 평가에 대해서만 이야기하는 것은 합법적입니다. 이 경우, 수학적 모델에 따라 계산을 구현하는 프로그램에는 오류가 없고, 초기 데이터가 기계에 올바르게 입력되었으며, 계산 과정에서 컴퓨터에 오작동이 발생하지 않았다고 당연히 가정됩니다. 모델의 개념적 모델이 연구 중인 프로세스에 적합하고 수학적 모델이 개념적 모델에 적합하며 컴퓨터에서 수학적 모델 구현의 정확도가 지정된 모델과 일치하는 경우 모델은 신뢰할 수 있습니다. 계산 오류는 허용치를 초과하지 않습니다

개념 모델을 구성할 때 발생하는 주요 실수는 다음과 같습니다.

기준이나 제한 사항을 잘못 선택했습니다.

개념 모델에 중요하지 않은 요소를 도입하거나 개념 모델에 여러 가지 중요한 요소가 없음

시설의 다양한 운영 조건을 고려하지 않음

모델 구조의 기초가 되는 가설을 잘못 선택했습니다(예: 객체 요소의 구성, 기능 과정에서 요소 간의 연결 등).

모델의 기본 원칙에 대한 평가는 주관적이기 때문에 개념 모델의 적절성을 검증하는 것은 다소 어려운 작업입니다. 최선의 방법개념 모델의 적절성을 확인하는 것은 모델 개발(모델 검토)에 참여하지 않은 전문가가 모델을 검토하는 것입니다. 왜냐하면 문제를 보다 객관적으로 고려하고 통지할 수 있기 때문입니다. 약한 면저자가 눈치 채지 못한 모델. 개념 모델의 적절성에 대한 최종 결정은 고객에 의해서만 이루어지며, 고객은 개념을 승인할 때 모델의 기본 가정을 승인하게 됩니다.

개념적 모델에서 수학적 모델로 전환할 때 발생하는 주요 기본 오류는 다음과 같습니다.

수학적 모델의 구조가 개념적 모델의 구조와 일치하지 않습니다.

모델에 잘못된 수학적 관계가 포함되어 있습니다.

수학적 모델이 개발되면 프로그래밍을 시작하기 전에 필요한 타당성 확인을 통해 사용된 방정식이나 모델링 알고리즘이 개념 모델을 얼마나 잘 반영하는지에 대한 질문에 답해야 합니다. 방정식이 이론적으로 도출된 경우 결과의 수용 가능성을 결정하기 위해 여러 지점에서 계산을 수행할 수 있습니다. 추가 확인방정식은 차원 분석으로 구성됩니다. 모든 측정 단위가 물리적 의미에 따라 사용되는지, 방정식에서 차원의 스케일링 및 조정이 올바르게 수행되는지 확인하는 것이 필요합니다. 또한, 모델 인자가 한계값을 취하는 조건에서 결과를 확인하는 것이 필수입니다.

개념적 모델에서 수학적 모델로 이동할 때 선형화, 근사화 및 보간법을 사용하여 현상 설명을 공식화하며 각 방법에는 특정 오류가 발생합니다. 경험적 데이터를 분석하여 방정식을 도출했다면 실험 데이터와 일치하는지 무작위로 확인하는 작업이 필요합니다. 이 경우 통계 샘플을 사용하여 평균값 및 분산, 분산, 회귀, 요인 및 스펙트럼 분석, 자기 상관, "제곱" 기준을 사용한 테스트 방법 및 비모수 테스트를 추정할 수 있습니다. 이러한 각 통계 방법은 특정 가정을 기반으로 하기 때문에 이를 사용하면 적절성 평가와 관련된 질문이 제기됩니다.

개념적 모델과 관련하여 수학적 모델의 적절성에 대한 결정은 고객에 의해서만 이루어지며, 이를 통해 연구원은 수학적 모델을 컴퓨터에 구현하는 단계로 진행할 수 있습니다.

수학적 모델의 정확성을 평가하는 것은 모델링 이론에서 가장 적게 연구된 방법론적 문제 중 하나를 나타냅니다. 예를 들어, 부품 제조 시 오류를 측정한다고 생각해 보세요. x 및 가 도면에 있는 부품의 크기(이상적인 크기)이고 x Ф가 제조된 부품의 실제 크기인 경우 절대 제조 오류는 다음 공식으로 계산됩니다.

. (4.7)

오류는 부품이 제조된 후에 확인될 수 있습니다.

고객은 모델에서 얻은 권장 사항을 구현하여 실제로 얻은 결과와 시뮬레이션 결과가 얼마나 다를 수 있는지에 관심이 있습니다. 이 경우 모델 오류는 (4.7)과 유사한 표현으로 특징 지어집니다.

, (4.8)

어디 xF– 모델의 권장 사항을 구현한 후 생산에서 얻은 실제 결과 xM– “이론적” 결과, 즉 수학적 모델을 사용한 계산을 통해 얻은 것입니다.

단, 추정치(4.8)는 고객만이 얻을 수 있습니다. ~ 후에 모델의 권장 사항이 구현되는 방법. 모델이 올바르지 않거나 오류가 크면 어떻게 되나요? 당연히 고객이 원할 것이다. ~ 전에 모델에서 얻은 권장 사항을 구현하고 신뢰할 수 있는지, 허용 가능한 오류가 있는지 확인하십시오. 가치를 결정하다 ~ 전에 시뮬레이션 결과 구현.

하지만 , 어디 x 그리고- 결과. "이상적인" 수학적 모델을 사용하여 얻습니다. 오류가 없는 모델입니다. 연구 중인 프로세스에 대한 적절한 개념 및 고객 승인 수학적 모델은 컴퓨터에서 구현되기 전에 "이상적인" 수학적 모델로 받아들여질 수 있습니다.

일반적으로 컴퓨터에서 수학적 모델 구현의 정확성은 다양한 유형의 오류 집합을 통해 고려됩니다.

컴퓨터에서 "이상적인" 모델을 구현할 때 발생하는 오류를 발생 이유의 관점에서 분류하면(가장 일반적인 경우통계적 시뮬레이션을 고려) 네 가지 유형을 구분할 수 있습니다.

1) 무지 또는 부정확한 사양으로 인한 모델링 오류 원본 데이터가 제공됩니다;

2) 원래의 수학적 모델을 단순화할 때 발생하는 모델링 오류;

3) 반올림 오류를 포함하여 사용된 디지털 컴퓨터에서 수학적 모델의 개별 구현으로 인한 출력 특성 계산 오류;

4) 통계정보를 선택적으로 처리하는 동안 제한된 통계로 인해 발생하는 모델링 오류 또는 컴퓨터에서 모델에 대한 제한된 수의 무작위 테스트(시뮬레이션)로 인해 발생하는 모델링 오류.

일반적으로 모델링 오류는 체계적인(비무작위) 오류와 오류의 합입니다. 무작위 오류. 개별 오류 그룹을 고려해 보겠습니다.