Что называют топологией сети. Топология на пальцах. Производные топологии компьютерных сетей

Топология - довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.

Слова и текст подбирались таким образом, чтобы все было «интуитивно ясно». Как следствие - полное отсутствие математической грамоты.

Что такое топология? Сразу скажу, что есть, по крайней мере, два термина «Топология» - один из них просто обозначает некоторую математическую структуру, второй - несет за собой целую науку. Наука эта заключается в изучение свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.

Наглядный пример 1. Чашка бублик.

Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете - она одна. Пока оставим как есть, чуть позже разберемся наверняка)

Наглядный пример 2. Топологический человек.

Непрерывными деформациями человек (см. рисунок) может распутать пальцы - факт. Не сразу очевидно, но можно догадаться. А если же наш топологический человек предусмотрительно надел часы на одну руку, то наша задача станет невыполнимой.

Давайте внесем ясности

Итак, надеюсь парочка примеров привнесла некоторой наглядности к происходящему.
Попробуем формализовать это все по-детски.
Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы . Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.

Очень полезный случай - сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек - тогда это просто сфера, может быть одна - тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д.
Так почему же сфера с ручками - обособляется среди других фигур? Все очень просто - любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет О_о Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.

Вот такая вот достаточно содержательная теорема доказана. Не нами и не сейчас. Точнее она доказана для гораздо более общей ситуации. Поясню: мы ограничивались рассмотрением фигур слепленных из пластилина и без полостей. Это влечет следующие неприятности:
1) мы никак не можем получить неориентируемую поверхность (Бутылка Клейна, Лента Мёбиуса, проективная плоскость),
2)ограничиваемся двухмерными поверхностями (н/п: сфера - двухмерная поверхность),
3)не можем получить поверхности, фигуры простирающиеся на бесконечность (можно конечно такое представить, но никакого пластилина не хватит).

Лента Мёбиуса

Бутылка Клейна

Слова и текст подбирались таким образом, чтобы все было «интуитивно ясно». Как следствие - полное отсутствие математической грамоты.

Наглядный пример 1. Чашка бублик.

Наглядный пример 2. Топологический человек.

Давайте внесем ясности

Лента Мёбиуса

Бутылка Клейна

Существуют пять основных топологий (рис. 4.1):

общая шина (Bus);

кольцо (Ring);

звезда (Star);

древовидная (Tree);

ячеистая (Mesh).

Рис. 4.14 Типы топологий

Общая шина

Общая шина это тип сетевой топологии, в которой рабочие станции расположены вдоль одного участка кабеля, называемого сегментом.

Рис. 4.15 ТопологияОбщая шина

Топология Общая шина (рис. 4.2) предполагает использование одного кабеля, к которому подключаются все компьютеры сети. В случае топологииОбщая шина кабель используется всеми станциями по очереди. Принимаются специальные меры для того, чтобы при работе с общим кабелем компьютеры не мешали друг другу передавать и принимать данные. Все сообщения, посылаемые отдельными компьютерами, принимаются и прослушиваются всеми остальными компьютерами, подключенными к сети.Рабочая станция отбирает адресованные ей сообщения, пользуясьадресной информацией. Надежность здесь выше, так как выход из строя отдельных компьютеров не нарушит работоспособность сети в целом. Поиск неисправности в сети затруднен. Кроме того, так как используется только один кабель, в случае обрыва нарушается работа всей сети. Шинная топология - это наиболее простая и наиболее распространенная топология сети.

Примерами использования топологии общая шина является сеть 10Base–5 (соединение ПК толстым коаксиальным кабелем) и 10Base–2 (соединение ПК тонким коаксиальным кабелем).

Рис. 4.16 ТопологияКольцо

Кольцо – это топология ЛВС, в которой каждая станция соединена с двумя другими станциями, образуя кольцо (рис.4.3). Данные передаются от одной рабочей станции к другой в одном направлении (по кольцу). Каждый ПК работает как повторитель, ретранслируя сообщения к следующему ПК, т.е. данные, передаются от одного компьютера к другому как бы по эстафете. Если компьютер получает данные, предназначенные для другого компьютера, он передает их дальше по кольцу, в ином случае они дальше не передаются. Очень просто делается запрос на все станции одновременно. Основная проблема при кольцевой топологии заключается в том, что каждая рабочая станция должна активно участвовать в пересылке информации, и в случае выхода из строя хотя бы одной из них, вся сеть парализуется. Подключение новой рабочей станции требует краткосрочного выключения сети, т.к. во время установки кольцо должно быть разомкнуто. Топология Кольцо имеет хорошо предсказуемое время отклика, определяемое числом рабочих станций.

Чистая кольцевая топология используется редко. Вместо этого кольцевая топология играет транспортную роль в схеме метода доступа. Кольцо описывает логический маршрут, а пакет передается от одной станции к другой, совершая в итоге полный круг. В сетях TokenRingкабельная ветвь из центрального концентратора называется MAU (MultipleAccessUnit). MAU имеет внутреннее кольцо, соединяющее все подключенные к нему станции, и используется как альтернативный путь, когда оборван или отсоединен кабель одной рабочей станции. Когда кабель рабочей станции подсоединен к MAU, он просто образует расширение кольца: сигналы поступают к рабочей станции, а затем возвращаются обратно во внутреннее кольцо

Звезда – это топология ЛВС (рис.4.4), в которой все рабочие станции присоединены к центральному узлу (например, к концентратору), который устанавливает, поддерживает и разрывает связи между рабочими станциями. Преимуществом такой топологии является возможность простого исключения неисправногоузла . Однако, если неисправен центральный узел, вся сеть выходит из строя.

В этом случае каждый компьютер через специальный сетевой адаптер подключается отдельным кабелем к объединяющему устройству. При необходимости можно объединять вместе несколько сетей с топологией Звезда, при этом получаются разветвленные конфигурации сети. В каждой точке ветвления необходимо использовать специальные соединители (распределители, повторители или устройства доступа).

Рис. 4.17 ТопологияЗвезда

Примером звездообразной топологии является топология Ethernetс кабелем типаВитая пара 10BASE-T, центромЗвезды обычно являетсяHub.

Звездообразная топология обеспечивает защиту от разрыва кабеля. Если кабель рабочей станции будет поврежден, это не приведет к выходу из строя всего сегмента сети. Она позволяет также легко диагностировать проблемы подключения, так как каждая рабочая станция имеет свой собственный кабельный сегмент, подключенный к концентратору. Для диагностики достаточно найти разрыв кабеля, который ведет к неработающей станции. Остальная часть сети продолжает нормально работать.

Однако звездообразная топология имеет и недостатки. Во-первых, она требует много кабеля. Во-вторых, концентраторы довольно дороги. В-третьих, кабельные концентраторы при большом количестве кабеля трудно обслуживать. Однако в большинстве случаев в такой топологии используется недорогой кабель типа витая пара . В некоторых случаях можно даже использовать существующие телефонные кабели. Кроме того, для диагностики и тестирования выгодно собирать все кабельные концы в одном месте. По сравнению с концентраторамиArcNetконцентраторыEthernetи MAUTokenRingдостаточно дороги. Новые подобные концентраторы включают в себя средства тестирования и диагностики, что делает их еще более дорогими.

Термин «топология» характеризует физическое расположение компьютеров, кабелей и других компонентов сети.

Топология – это стандартный термин, который используется профессионалами при описании основной компоновки сети.

Кроме термина «топология», для описания физической компоновки употребляют также следующее:

Физическое расположение;

Компоновка;

Диаграмма;

Топология сети обуславливает ее характеристики. В частности выбор той или иной топологии влияет на:

состав необходимого сетевого оборудования;

характеристики сетевого оборудования;

возможности расширения сети;

способ управления сетью.

Чтобы совместно использовать ресурсы или выполнять другие сетевые задачи, компьютеры должны быть подключены друг к другу. Для этой цели в большинстве случаев используется кабель (реже – беспроводные сети – инфракрасное оборудование). Однако, просто подключить компьютер к кабелю, соединяющему другие компьютеры, недостаточно. Различные типы кабелей в сочетании с различными сетевыми платами, сетевыми операционными системами и другими компонентами требуют и различного взаиморасположения компьютеров.

Каждая топология сети налагает ряд условий. Например, она может диктовать не только тип кабеля, но и способ его прокладки.

Базовые топологии

звезда (star)
кольцо (ring)

Если компьютеры подключены вдоль одного кабеля, топология называется шиной. В том случае, когда компьютеры подключены к сегментам кабеля, исходящим из одной точки, или концентратора, топология называется звездой. Если кабель, к которому подключены компьютеры, замкнут в кольцо, такая топология носит название кольца.

Шина.

Топологию «шина» часто называют «линейной шиной» (linerbus). Данная топология относится к наиболее простым и широко распространенным топологиям. В ней используется один кабель, именуемый магистралью или сегментом, вдоль которого подключены все компьютеры сети.

В сети с топологией «шина» компьютеры адресуют данные конкретному компьютеру, передавая их по кабелю в виде электрических сигналов.

Данные в виде электрических сигналов передаются всем компьютерам в сети; однако информацию принимает тот, адрес которого соответствует адресу получателя, зашифрованному в этих сигналах. Причем в каждый момент времени, только один компьютер может вести передачу.

Так, как данные в сеть передаются только одним компьютером, ее производительность зависит от количества компьютеров, подключенных к шине. Чем их больше, тем медленнее работает сеть. Шина – пассивная топология. Это значит, что компьютеры только «слушают» передаваемые по сети данных, но не перемещают их от отправителя к получателю. Поэтому, если один из компьютеров выйдет из строя, это не скажется на работе остальных. В этой топологии данные распространяются по всей сети – от одного конца кабеля к другому. Если не предпринимать никаких действий, то сигналы, достигнув конца кабеля будут отражаться и это не позволит другим компьютерам осуществлять передачу. Поэтому, после того, как данные достигнут адресата, электрические сигналы необходимо погасить. Для этого на каждом конце кабеля в сети с топологией «шина» устанавливают терминаторы (terminators) (которые еще называют заглушками) для поглощения электрических сигналов.

Преимущества: отсутствие дополнительного активного оборудования (например повторителей) делает такие сети простыми и недорогими.

Схема линейной топологии локальной сети

Однако, недостаток линейной топологии заключается в ограничениях по размеру сети, ее функциональности и расширяемости.

Кольцо

При кольцеобразной топологии каждая рабочая станция соединяется с двумя ближайшими соседями. Такая взаимосвязь образует локальную сеть в виде петли или кольца. Данные передаются по кругу в одном направлении, а каждая станция играет роль повторителя, который принимает и отвечает на адресованные ему пакеты и передает другие пакеты следующей рабочей станции «вниз». В оригинальной кольцеобразной сети все объекты подключались друг к другу. Такое подключение должно было быть замкнутым. В отличии от пассивной топологии «шина», здесь каждый компьютер выступает в роли репитора, усиливая сигналы и передавая их следующему компьютеру. Преимущество такой топологии было предсказуемое время реагирования сети. Чем больше устройств находилось в кольце, тем дольше сеть реагировала на запросы. Наиболее существенный ее недостаток заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного устройства отказывалась функционировать вся сеть.

Один из принципов передачи данных по кольцу носит название передачи маркера. Суть его такова. Маркер последовательно, от одного компьютера к другому, передается до тех пор, пока его не получит тот, который хочет передать данные. Передающий компьютер изменяет маркер, помещает электронный адрес в данные и посылает их по кольцу.

Такую топологию можно улучшить, подключив все сетевые устройства через концентратор (Hub устройство, соединяющие другие устройства). Визуально «подправленное кольцо физически кольцом уже не является, но в подобной сети данные все равно передаются по кругу.

На рисунке сплошными линиями обозначены физические соединения, а пунктирными – направления передачи данных. Таким образом, подобная сеть имеет логическую кольцевидную топологию, тогда как физически представляет собой звезду.

Звезда

При топологии «звезда» все компьютеры с помощью сегментов кабеля подключаются к центральному компоненту, имеющему концентратор. Сигналы от передающего компьютера поступают через концентратор ко всем остальным. В сетях с топологией «звезда» подключение кабеля и управление конфигурацией сети централизованы. Но есть и недостаток: так как все компьютеры подключены к центральной точке, для больших сетей значительно увеличивается расход кабеля. К тому же если центральный компонент выйдет из строя, нарушится работа всей сети.

Преимущество: если нарушится работа в одном компьютере или выйдет из строя кабель, соединяющий один компьютер, то только этот компьютер не сможет получать и передавать сигналы. На остальные компьютеры в сети это не повлияет. Общая скорость работы сети ограничивается только пропускной способностью концентратора.

Звездообразная топология является доминирующей в современных локальных сетях. Такие сети довольно гибкие, легко расширяемые и относительно недорогие по сравнению с более сложными сетями, в которых строго фиксируются методы доступа устройств к сети. Таким образом, «звезды» вытеснили устаревшие и редко используемые линейные и кольцеобразные топологии. Более того, они стали переходным звеном к последнему виду топологии – коммутируемой звезд е.

Коммутатор – это многопортовое активное сетевое устройство. Коммутатор «запоминает» аппаратные (или MAC–MediaAccessControl) адреса подключенных к нему устройств и создает временные пути от отправителя к получателю, по которым и передаются данные. В обычной локальной сети с коммутироуемой топологией предусмотрено несколько соединений с коммутатором. Каждый порт и устройство, которое к нему подключено, имеет свою собственную пропускную способность (скорость передачи данных).

Коммутаторы могут значительно улучшить производительность сетей. Во-первых, они увеличивают общую пропускную способность, которая доступна для данной сети. Например в 8-ми потровом коммутаторе может быть 8 отдельных соединений, поддерживающих скорость до 10 Мбит/с каждое. Соответственно пропускная способность такого устройства – 80Мбит/с. Прежде всего коммутаторы увеличивают производительность сети, уменьшая количество устройств, которые могут заполнить всю пропускную способность одного сегмента. В одном таком сегменте содержится только два устройства: сетевое устройство рабочей станции и порт коммутатора. Таким образом за полосу пропускания в 10 Мбит/с могут «соперничать» всего два устройства, а не восемь (при сипользовании обыкновенного 8-портового концентратора, который не предусматривает такого разделения полосы пропускания на сегменты).

В заключении следует сказать что различают топологию физических связей (физическая структура сети) и топологию логических связей (логическую структуру сети)

Конфигурация физических связей определяется электрическими соединениями компьютеров и может быть представлена в виде графа, узлами которого являются компьютеры и коммуникационное оборудование, а ребра соответствуют отрезкам кабеля, связывающим пары узлов.

Логические связи представляют собой пути прохождения информационных потоков по сети, они образуются путем соответствующей настройки коммуникационного оборудования.

В некоторых случаях физическая и логическая топологии совпадают, а иногда не совпадают.

Сеть показанная на рисунке являет собой пример несовпадения физической и логической топологии. Физически компьютеры соединены по топологии общая шина. Доступ же к шине происходит не по алгоритму случайного доступа, а путем передачи токена (маркер) в кольцевом порядке: от компьютера А – компьютеру В, от компьютера В – компьютеру С и т.д. Здесь порядок передачи токена уже не повторяет физические связи, а определяется логическим конфигурированием сетевых адаптеров. Ничто не мешает настроить сетевые адаптеры и их драйверы так, чтобы компьютеры образовали кольцо в другом порядке, например В, А, С… При этом физическая структура не меняется.

Беспроводные сети.

Словосочетание «беспроводная среда» может ввести в заблуждение, поскольку означает полное отсутствие проводов в сети. В действительности же обычно беспроводные компоненты взаимодействуют с сетью, в которой – как среда передачи – используется кабель. Такая сеть со смешанными компонентами называется гибридной.

В зависимости от технологии беспроводные сети можно разделить на три типа:

локальные вычислительные сети;

расширенные локальные вычислительные сети;

мобильные сети (переносные компьютеры).

Способы передачи:

инфракрасное излучение;

радиопередача в узком спектре (одночастотнная передача);
радиопередача в рассеянном спектре.

Кроме этих способов передачи и получения данных можно использовать мобильные сети, пакетное радио соединение, сотовые сети и микроволновые системы передачи данных.

В настоящее время офисная сеть – это не просто соединение компьютеров между собой. Современный офис сложно представить без баз данных в которых хранится как финансовая отчётность предприятия, так и информация по кадрам. В крупных сетях, как правило, в целях безопасности баз данных, и для увеличения скорости доступа к ним используются отдельные сервера для хранения баз данных. Также сейчас современный офис сложно представить без доступа в сеть Интернет. Вариант схемы беспроводной сети офиса изображён на рисунке

Итак сделаем вывод: будущую сеть необходимо тщательно спланировать. Для этого следует ответить на следующие вопросы:

Для чего вам нужна сеть?

Сколько пользователей будет в вашей сети?

Как быстро сеть будет расширяться?

Нужен ли для данной сети выход в Интернет?

Необходимо ли централизованное управление пользователями сети?

После этого нарисуйте на бумаге приблизительную схему сети. Следует не забывать о стоимости сети.

Как мы с вами определили, топология является важнейшим фактором улучшения общей производительности сети. Базовые топологии могут применяться в любой комбинации. Важно понимать, что сильные и слабые стороны каждой топологии влияют на желаемую производительность сети и зависят от существующих технологий. Необходимо добиться равновесия между реальным расположением сети (например, в нескольких зданиях), возможностями использования кабеля, путями его прокладки и даже его типом.

Лента Мебиуса, интересна тем, что имеет только одну поверхность; такие формы являются объектом изучения топологии. Топология (греч. – место, logos – наука) – раздел математики, который приближен к геометрии. В то время как алгебра начинается с рассматривания операций, геометрия – фигур, а математический анализ – функций; фундаментальное понятие топологии – непрерывность. Непрерывное отображение деформирует пространство, не разрывая его, при этом отдельные точки или части пространства могут склеиться (соединиться), но близкие точки остаются близкими. В отличие от геометрии, где рассматриваются преимущественно метрические характеристики, такие как длина, угол и площадь, в топологии эти характеристики считаются несущественными на фоне изучаются такие фундаментальные свойства фигуры, как связность (количество кусков, дыр и т.д.) или возможность непрерывно здеформуваты ее к сферы и обратно (это возможно для поверхности куба, но невозможно для поверхности тора).
Аксиоматика топологии построена на принципах теории множеств, но ведущую роль в исследованиях по современной топологии играют прежде алгебраические и геометрические методы. Объектами исследования топологии является топологические пространства, совместное обобщение таких структур как граф, поверхность в трехмерном пространстве и множество Кантора и отображения между ними. При этом исследуются свойства топологических пространств как в малом (локальные), так и в целом (глобальные). Среди разнообразных направлений топологии отметим приближенную к теории множеств общую топологию, которая изучает такие общие свойства абстрактных топологических пространств как компактность или связность, и алгебраическую топологию, которая пытается описать топологические пространства с помощью их алгебраических инвариантов, например чисел Бетти и фундаментальной группы. Геометрическая топология изучает топологические пространства геометрического происхождения, узлы в трехмерном евклидовом пространстве и трехмерные многообразия. К геометрической топологии принадлежит одна из крупнейших и известнейших математических проблем, гипотеза Пуанкаре, которую наконец (2003 г.) доказал российский математик Григорий Перельман.
Наряду с алгеброй и геометрией, топологические методы широко используются в функциональном анализе, теории динамических систем и современной математической физике.
Срок топология используется для обозначения как математической дисциплины, так и для определенной математической структуры, смотри топологическое пространство.
Семь мостов Кенигсберга – первая задача топологии, которая была рассмотрена Л. Эйлером. Начальные исследования по топологии принадлежат Леонарду Эйлеру. Считается, что статья Эйлера «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» («Решение вопроса, связанного с геометрией положения»), напечатанная в 1736 г., содержала первые результаты по топологии. Новая точка зрения, предложенная Эйлером, заключалась в том, чтобы во время изучения определенных вопросов по геометрии отказаться от рассмотрения метрических свойств геометрических фигур, таких как длина и площадь. Так, в 1750 г. в письме Гольдбаха Эйлер сообщил о своей славной формулу

В – Р + Г = 2,

Которая связывает число вершин В, ребер Р и граней Г выпуклого многогранника.
В 1895 г. Анри Пуанкаре опубликовал цикл статей Analysis Situs, в которых заложил основы алгебраической топологии. Совершенствуя предварительные исследования связности топологических пространств, Пуанкаре ввел понятие гомотопии и гомологии и предоставил определение фундаментальной группы.
В определенном смысле, работы Пуанкаре подвели итог исследованиям Эйлера, Люилье, Гаусса, Римана, листингу, Мебиуса, Жордана, Клейна, Бетти и др. с комбинаторной и геометрической топологии. Важной особенностью почти всех этих работ, включая Пуанкаре, был их интуитивный характер. Вместе с существенным количеством примеров топологических объектов и результатов для их свойств, новой области математики хватало ли не самого главного: строгого определения объектов ее исследования, то есть, современным языком, топологических пространств.
Осознание важности топологической парадигмы в математическом анализе, связанной со строгим обоснованием границ, непрерывности и компактности в работах Больцано, Коши, Вейерштрасса, Кантора и др. привело к аксиоматического определения основных понятий топологии и развития общей топологии, а вместе с ней и топологии векторных пространств, функционального анализа. Таким образом, проблемы анализа образуют вторых, во многом, независимое от вопросов геометрии, источник для развития топологии. Следует отметить что до сих пор пути развития общего и алгебраической топологии почти не пересекаются.
Общепризнанная ныне аксиоматика топологии основывается на теории множеств, которая была образована Георгом Кантором во второй половине 19-го века. В 1872 г. Кантор предоставил определение открытых и замкнутых множеств действительных чисел. Интересно отметить, что Кантор поступил в некоторых идей теории множеств, например, множества Кантора, в пределах своих исследований по рядов Фурье. Систематизируя работы Георга Кантора, Вито Вольтерры, Чезаре Арцела, Жака Адамара и др., в 1906 году Морис Фреше обозначил понятие метрического пространства. Чуть позже было осознано, что метрическое пространство – это частный случай более общего понятия, топологического пространства. В 1914 г. Феликс Хаусдорф использовал термин «топологическое пространство» в близком к современному смысле (рассмотренные им топологические пространства сейчас называют хаусдорфовой).
Происхождение названия
Собственно термин «топология» («topologie» на немецком языке) впервые появился лишь в 1847 г. в статье Листинг Vorstudien zur Topologie. Однако к тому времени Листинг уже более 10 лет использовал этот термин в своих переписки. «Topology», английская форма срока, была предложена в 1883 в журнале Nature для того чтобы различить качественную геометрию от геометрии обычной, в которой превалируют количественные соотношения. Слово topologist – т.е. тополог, в смысле «специалист по топологии" было впервые использовано в 1905 в журнале Spectator. Благодаря влиянию упомянутых выше статей Пуанкаре, топология долгое время была известна еще под названием Analysis Situs (лат. анализ места).
Топологические пространства естественно появляются во многих разделах математики. Это делает топологию чрезвычайно универсальным инструментом для математиков Общая топология определяет и изучает такие свойства пространств и отображений между ними как связность, компактность и непрерывность. Алгебраическая топология использует объекты абстрактной алгебры, а особенно теории категорий для изучение топологических пространств и отображений между ними.
Чтобы понять, для чего нужна топология, можно привести такой пример: в некоторых геометрических задачах не так важно знать точную форму объектов, как знать как они расположены. Если рассмотреть квадрат и круг (контуры), казалось бы такие разные фигуры, можно заметить несколько общего: оба объекта являются одномерными и оба разделяют пространство на две части – внутренность и внешность.
Темой одной из самых статей (автор – Леонард Эйлер) по топологии была демонстрация того, что невозможно найти путь в Кенигсберге (ныне Калининград), который бы пролег через каждый из семи городских мостов ровно по одному разу. Этот результат не зависел ни от длины мостов, ни от расстояния между ними. Влияли только свойства связности: какие мосты связывают которые острова или берега. Эта задача Семи мостов Кенигсберга показательна при изучении математики, также она стала основополагающей в разделе математики, называется теория графов.
Похожей является теорема мохнатой шара с алгебраической топологии, в которой говорится следующее: «невозможно причесать волосы на шаре в одну сторону». Этот факт является достаточно наглядным и многие сразу находят понимание, однако ее формальную запись для многих не является очевидным: не существует ненулевого непрерывного поля касательных векторов на сфере. Как и с кенигсбергских мостами, результат не зависит от точной формы сферы; утверждение выполняется и для грушевидных форм, даже для более общих – каплевидных форм (с некоторыми условиями на гладкость поверхности), при общей условии отсутствия дыр.
Так что для того, чтобы решать подобные задачи, которые в действительности не нуждаются сведений о точной форму объектов, нужно четко знать, от каких же свойств зависит решение таких задач. Сразу возникает потребность в определении топологической эквивалентности. Невозможность пройти каждым из мостов по одному разу относится также к любому расположения мостов, эквивалентного Кенигсбергского; теорема мохнатой шара может быть применена к любому объекту топологически эквивалентного шара.
Непрерывная деформация кофейной чашки в баранку (тор). Такое преобразование называют гомотопии. Фазы преобразования чашки в баранку Интуитивно, два топологических пространства эквивалентны (гомеоморфными), если один может быть преобразован в другой без отрезков или склеек. Традиционным есть такая шутка: тополог не может отличить чашку кофе, из которой она пьет, от бублика, которую он ест, так как достаточно гибкий баранку можно легко превратить в форму чашки, создав углубления и увеличивая его, одновременно уменьшая отверстие до размеров ручки.
В качестве простого исходной задачи можно классифицировать буквы латинского алфавита в терминах топологической эквивалентности. (Будем считать, что толщина линий, из которых составлен буквы ненулевая) В большинстве шрифтов что сейчас применяются существует класс букв ровно с одной дыркой {a, b, d, e, o, p, q}, класс букв без дырок: {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, и класс букв, состоящих из двух кусков: {i, j}. Буква «g» может принадлежать либо классу букв с одной дыркой, или (в некоторых шрифтах) это может быть буква с двумя дырками (если ее хвостик был заперт). Для более сложного примера можно рассмотреть случай нулевой толщины линий; можно рассмотреть различные топологии в зависимости от того, какой шрифт выбрать. Топология букв имеет свое практическое применение в трафаретной типографии: например, шрифт Braggadocio может быть вырезан из плоскости, не распавшись после этого.
Топология – одна из наиболее центрально-расположенных математических дисциплин, в смысле численности связей и степени взаимного влияния с другими разделами математики. Приведем следующие примеры.
Математическая сообщество высоко отметила вклад топологий к развитию математики. За период с 1936 по 2006 г., одна из высших наград в математике, Медаль Филдса, была присуждена 48 математикам, 9 из них за исследования именно в топологии. В работах еще нескольких из лауреатов топологические методы играли важную роль.
Трем из них премия была присуждена за решение гипотезы Пуанкаре: Григорию Перельману за доведение оригинальной гипотезы относительно трехмерной сферы и Майклу Фридману и Стивену Смейла – за решение аналогичного вопроса в четырех (Фридман) и пяти и более измерениях (Смейл). Интересно, что еще две с Филдсовской премий была присуждена за результаты о сферах: Джону Милнору за открытие 28 дифференцируемых структур на семивимирний сфере, и Жану-Пьеру Серра за разработку методов вычисления гомотопических групп сфер. Таким образом, пять из сорока восьми Филдсовской премий получили исследователи сфер!